I. Quel que soit l'angle aigu B, on a les relations
(2) sin- B -t-cos- B^l,
sin B
(3) tangBz=
(4) cot B =
cos B ' cos B sin B '
En élevant au carré tous les membres des deux premières relations (1), puis ajoutant celles-ci membre à membre, il vient effectivement
b' -f c- ^ sin- B 4- cos- B ^ :: — := 1 ,
SINUS, COSINUS, ETC. d'UN ANGLE AIGU. 103
puisque b, c désignent les côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle ayant a jiour hypoténuse (227).
Quant aux relations (3), (4), elles s'obtiennent en divisant membre à membre les deux premières formules (1), simplifiant le second membre du résultat, puis en remarquant qu'il est égal à celui soit de la troisième relation (1), soit de la quatrième.
Les deux dernières égalités (1) donnent encore
(5) tang B.cot B = l.
II. Les relations (2), (3), ( 4i permettent de calculer les valeurs de trois quelconques des rapports Irigonométriques d'un angle quand on connaît celle du quatrième.
1° Connaissant sin B, calculer cos B, tang B, cot B.
La formule (2) donne immédiatement
sinB
— sin"
— sin-
(6) cosB = v/l — sin"B.
Au moyen de celle-ci, les relations (3), (4) donnent ensuite
(7) tangBz=
(8) cotB= .
sin B
2° Connaissant cos B, calculer sin B, tang B, cot B. La même marche suivie à partir de la relation (2) toujours, conduira aux formules
(9) sin B
(10) tang B
(11) cotB=
v/l — cos-B
3o Connaissant tang B, calculer sin B, cos B, cot B. Si l'on chasse le dénominateur de la relation (7), et si l'on élève ensuite ses deux membres au carré, il vient
— cos-
. — cos-
cos B cos B
c'est-à-dire d'oîi (12) sin B =
(1 — sin- B) tang- B = sin- B^ (1 + tang2 B) sin2 B = tang- B,
tangB
l/l + tang^ B
f04 PROPRIÉTÉS FONDAMENTALES DES TRIANGLES.
De (10) on tirera par le même procédé (13) cos B
s/l + tang- B r.a relation (5) donne immédiatement enfin
(14) cot B =
tangB
4° Connaissant cot B, calculer sin B, cos B, tang B. Les relations (8), (11), (5) traitées exactement comme (7), (10), (5) l'ont été ci-dessus (3°), conduisent aux formules
(15) sin B
(16) cos B
(17) tangBi=
v/l + cof-
cotB
y/i + cot^
cotB
III. Qnnnd deux angles aigus sont complémentaires, le sinus et la tangente de l'an sont respectivement égaux au cosinus et à la co tangente de l'autre.
La considération du triangle rectangle dont nous avons parlé au commencement du n° 240, montre immédiatement que le complément de l'angle aigu B est précisément l'autre angle aigu G de ce triangle, opposé à son côté c (226). Or, on a par définition
sinB
tang B on a donc bien
IV. Quand il est nul ou droit, un angle non obtus ne peut figurer dans aucun triangle rectangle, ni pur suite avoir directement les rapports trigonométriques dont nous nous occupons. Mais la généralisation de ces notions conduit ci considérer un angle nul conmie ayant 0, 1, 0 pour sinus, cosinus et tangente respectivement, et un angle droit comme ayant les mêmes nombres pour cosinus, sinus et cotangente respectivement. Ce qui, à notre point de vue, sera une convention justifiée par sa commodité.
cos C =
cot C =
sinB:
= cos c,
tang B
= cot C.
SINUS, COSINUS, ETC. d'uN ANGLK AIGU. 105
V. La construction de l'nngle aigu qui a pour tangente ou pour cotangente un nombre quelconque A* donné, n'oJTre aucune difficulté. Prenons, en effet, deux segments rcctiligncs b, c dont le rapport soit égal à k (157), et construisons le tri;ingle rectangle ajant b, c pour côtés de son angle droit (235, II). Son angle H ou C est évidemment l'angle cherché.
Si c'étaient le sinus ou le cosinus de l'angle inconnu qui eussent été donnés [tous deux < 1, bien entendu (240i], on pourrait procéder indirectement en calculant d'abord, soit la tangente de cet angle au moyen des formules (7) ou (10,) soit sa cotangente tirée de (8) ou de (11), puis en faisant la construction précédente. Mais on peut aussi opérer directement par la construction d'un triangle rectangle dont un coté de l'angle droit et l'hypoténuse sont donnés (235, III), (Chap. XX, inf.).
VI. Quand deux angles aigus sont inégaux, le sinus et la tangente du plus grand sont respectivement supérieurs au sinus et à la tangente du plus petit ; mais le cosinus et la cotangente du plus grand sont, au contraire, inférieurs aux rapports de mêmes noms appcvtenant au plus petit.
Soient B' > B les angles aigus considérés que, dans un même plan, à partir d'une même demi-droite ;3A ^fig. 50), nous porterons dans un même sens de rotation (166) ; après quoi, nous couperons toute la figure par une perpendiculaire élevée sur la demidroite SA en un quelconque A de ses points, rencontrant en C, C les autres côtés ;5C, ,3C' de nos angles B, B' ainsi portés ; car les sommes de l'angle droit A et de l'un ou de l'autre des angles aigus B, B' sont toutes deux inférieures à 2 droits (216 ter).
En vertu de l'inégalité supposée, la demi-droite fiC, second côté du plus grand . angle B, tombe à l'extérieur de l'angle ApC^B; donc (159, IX), sa trace C sur la sécante perpendiculaire à pA est extérieure au segment AC, d'où
