AC > AC

puis, en divisant les deux nombres par |3A,

AC^ AC pA jiA' c'est-à-dire (240)

tang B' > tang B,

le second des deux points à établir.

Cette inégalité combinée successivement avec les relations (13,) (14) donne immédiatement ensuite

cos B' < cos B,

(18) cotB'<cotB,

c'est-à-dire les deux derniers points de notre énoncé.

La première partie se déduit enfin de la combinaison de l'inégalité (18) et de la relation (15) conduisant bien à

(19) sin B' > sin B.

242. Les réciproques de ces dernières propositions sont évidentes ; car si l'on a l'inégalité (19) par exemple, B' ne peut être ni = B, ni < B, puisque alors on aurait sin B' = sin B dans le premier cas, ou sin B' < sin B dans le second. Le raisonnement cidessus (241, VI) y conduirait encore tout aussi facilement.

243. La connaissance d'un seul côté d'un triangle rectangle et des rapports trigonométriques d'un seul de ses angles aigus permet de calculer, non seulement l'autre angle aigu, complément de l'angle donné, mais encore ses deux autres côtés.

Supposons connus les rapports trigonométriques de l'angle aigu B, puis, soit l'hypoténuse a, soit le côté b opposé à B, soit le côté c adjacent à cet angle. On aura :

dans le premier cas (240),

b = a sin B, c = a cos B ;

dans le second,

a = — — - , c = — = 0 cot B

sm B tang B

et dans le troisième,

b = ctangB =

cos B cot B

II serait même possible, quoique plus incommode, d'opérer en connaissant un seul quelconque des quatre rapports trigonométriques de l'angle B, puisque alors les formules du n" 241 permettent de calculer tous les autres.

Par des procédés que nous ne pouvons indiquer ici, on a dressé des Tables numériques donnant, par simples lectures, les quatre rapports trigonométriques (par leurs logarithmes calculés avec une grande approximation) de chaque angle aigu exprimé en degrés, minutes et secondes (174), donnant inversement, en degrés, minutes et secondes, tout angle aigu dont un seul rapport trigonométrique serait connu. Au moyen de ces Tables, on peut résoudre non seulement les triangles rectangles comme nous venons de l'indiquer, mais tous les autres, c'est-à-dire calculer leurs éléments inconnus (angles ou côtés), dés que l'on en connaît d'autres suffisants pour déterminer ceux-ci. Les mêmes Tables rendent encore possibles, ou facilitent, mille autres calculs pratiques se présentant à chaque pas dans les

EXPRESSION DE LA PROJECTION d'uN SEGMENT. 107

Mathématiques appliquées (Astronomie et Navigation, Mécanique, Pliysique, etc.)- Tout ceci s'étend immédialeinenl aux angles dièdres (195).

244. Parmi les applications des notions précédentes, voici l'une des plus fréquemment utilisées.

La projection orthogonale (1^9) A'B' {fig. 51) d'un segment rectiligne AB sur une droite quelconque XX' est égale au produit de sa longueur par le cosiinis de l'angle aigu formé par sa droite AB et la droite de projection XX' (183).

Les plans menés par A et B perpendiculairement à XX' découpent sur cette droite la projection A'B' du segment considéré. Par A, menons la parallèle à XX' coupant en b et perpendiculairement aussi, le second de ces plans perpendiculaires à XX', puis joignons B'b, bB.

On a A'B' = Ab comme parallèles comprises entre plans parallèles (148), et le triangle A^B est rectangle en b, parce que la droite Xb, perpendiculaire au plan BbB', l'est aussi à la droite bB passant par son pied dans ce plan. On a donc

A'B' = Ab = AB . cos bAB (243).

Or ce dernier angle est bien compris entre des droites parallèles à XX' et à AB; de plus il est aigu, puisqu'il appartient à un triangle rectangle dont il n'est pas l'angle droit.

Grâce à nos conventions (241, IV), cette formule subsiste encore dans les cas extrêmes où l'angle bAB est nul ou droit ; car elle devient alors

A'B'=r AB, ou =0,

ce qui est exact, puisque AB est parallèle à XX' dans le premier cas, située sur quelque plan perpendiculaire à cette droite dans le second.

245. On pourrait calculer tout aussi bien la projection A',B', du segment AB sur une droite X,X', oblique (86) aux plans projetants. Car, en appelant V, Y^, les angles aigus formés parla droite XX' perpendiculaire aux plans projetants, avec AB d'une part, avec XjX', d'autre part, A'B' est à la fois, sur XX', la projection orthogonale, tant de AB que de A,B,. On a donc (244)

A'B' = AB.cosV,

A'B' = A'iB',.cosV,;

d'où, en divisant membre à membre,

cos V