A',B', = AB
cos V,
246. L'intervention des longueurs algébriques des segments dirigés qui sont conçus sur un même axe (135), permet d'étendre bien facilement à un angle obtus, la notion des rapports trigonométriques.
A partir d'un axe polaire (176) OX (fig. 52), dans un sens de rotation déterminé et adopté pour sens positif, portons un angle aigu XOA ; sur OA, OX et dans les directions de ces demi-droites, portons des longueurs Oaj, OU toutes deux égales à l'unité de longueur ; sur l'axe OX, abaissons de a^, élevons en U, les perpendiculaires a^pi, UH, cette dernière coupant OA en 02-
A partir du même axe et dans la direction rotatoire positive, portons un angle droit XOY, prenons OV égal à l'unité de longueur, et en V sur OY élevons une perpendiculaire VK coupant en «g le second côté OA de l'angle aigu considéré ; puis, de ai abaissons sur OY la perpendiculaire OjÇi.
On aura
Og, = piOi = Ooj sin XOA = sin XOA,
à cause des relations trigonométriques propres au triangle rectangle (243), et parce que Oai, pris égal à l'unité de longueur, a pour mesure le nombre 1.
La considération d'autres triangles évidents, combinée avec le souvenir du fait que nous avons pris OU, OV égaux à l'unité de longueur, montrera avec la même facilité que l'on a, non seulement
sin XOA = Oqi, mais encore
cos XOA — Op,,
tang XOA =- Uaz,
cot XOA == Vas-
Ainsi donc, sin XOA, cos XOA se présentent maintenant comme les abscisses (136) sur les axes fixes OY, OX pris dans ces direclicns positioes, des pieds des perpendiculaires abaissées sur eux du point a,, extrémité d'un segment de longueur 1 ;jor/é sur le second côté OA de l'angle à partir de son sommet O ; tang XOA, cot XOA se présentent simultanément comme les abscisses sur les autres axes fixes UH, VK directement parallèles à OY, OX, des traces a», a^ laissées sur eux par ce même second côté de l'angle.
Cela posé, les longueurs algébriques des segments correspondants construits sur les mêmes axes OX, OY, UH, VK, pour tout angle obtus XOA', fourniront, par conventions nouvelles, les quatre rapports trigonométriques de cet angle.
Dans le cas intéressant, par exemple, où cet angle obtus XOA est le supplément de l'angle aigu XOA pour lequel nous avons commencé le tracé de la figure, et en remarquant que les triangles rectangles Oq\a\, Oqiai sont égaux, à cause de Oa\ = 1 = Oa, et de q'iOa\ =- XOA' — 1 droit = 2 droits — XOA — 1 droit ^ 1 droit - XOA = g,Oai, on trouvera
sin XOA' = Oqr'i = Oq»! — sin XOA, cos XOA' = Op'i = — 0/3] = — cos XOA,
SINUS, COSINUS, i:tc. d'un angle quelconque. 109
parce que la direction de Op', est opposée à la direction positive de l'axe OX, puis aussi facilement
tang XOA = Ua'2 = — Ua2 — — tang XOA,
cot XOA = Va p. = — Vas = — cot XOA,
parce que les segments Ua'2, Va'3 sont diriges dans les sens contraires aux directions positives des axes UH, VK.
On voit ainsi, que les rapports tri<jonomctriqiies d'un angle obliis ne sont pas autres choses que ceux de mêmes noms appartenant à l'anijle aigu son supplément, tous pris négativement, sauf le sinus.
Il est bon de remarquer qu'ini angle (saillant) est complètement détermine par son cosinus, ou sa tangente, ou sa cotangcnte, mais qu'il y a ambiguïté quand on ne donne que son sinus, puisque deux angles supplémentaires ont toujours des sinus égaux, leurs autres rapports trigonométriques égaux en valeur absolus, mais de signes contraires.
247. Les mêmes considérations, exactement, fourniront avec autant de facilité les définitions des rapports trigonométriques d'un angle d'amplitude quelconque, même négative (175), (176), et aussi bien de tout angle dièdre (200). Mais nous n'avons pas à insister sur cette matière.
248. D'après cela, la projection orthogonale algébrique A'B' (fîg. 51) d'un segment dirige AB sur un axe XX (153) est toujours égale au produit de sa longueur (absolue) l par le cosinus de l'angle V (aigu ou obtus) que sa direction fut avec la direction positive de l'axe.
En vertu des n^^ 244 et 246 (in fine), les deux membres de la formule à établir (20) A'B' = 2.cosV
ont toujours des valeurs numériques égales.
Or si V est aigu, ils sont tous deux positifs, parce que la projection algébrique A'B' est positive (213) et que cos V est une quantité positive.
Si cet angle est obtus, comme dans la figure, ils sont tous deux négatifs, parce que ces deux quantités deviennent simultanément négatives. La formule subsiste donc dans tous les cas.
Une formule semblable est évidente pour les projections algébriques obliques (245).
249. De ce théorème, on déduit en particulier une forme très élégante et des plus impoi-tantes, pour la relation (6) du n" 225. Car il donne immédiatement, à la projection y que nous y avons considérée, la valeur algébrique
y = c cos A (248),
et la formule en question devient
a^ = b- ~\- c- — 2bc cos A;
c'est une relation entre les trois côtés et un angle, qui, par exemple, et au mojen des Tables trigonométriques (243), permettrait de calculer l'un de ces quatre éléments, dès que les trois autres sont connus.
