A LEUR CONSIDÉRATION

Distance de deux points.

250. La propriété de tout segment rectiligne AB, de constituer le plus court chemin pouvant être tracé de l'une de ses extrémités à l'autre (Chap. XIII, inf.), a fait donner à sa longueur le nom de distance mutuelle de ces deux points A, B.

251. Le lieu géométrique (14) des points M de Vespace dont les carrés des distances à deux points fixes distincts P, Q ont une différence constante donnée S, c'est-à-dire qui donnent

(1) PM^ — Qm' = G,

est un certain plan perpendiculaire sur la droite PQ. {Cf. Chap. XVIII, XXIV, inf.)

I. La relation générale suivante nous sera fort utile ici et dans d'autres circonstances encore.

Soient PQ (fig. 53) un segment non nul quelconque, O un point choisi arbitrairement sur la droite PQ, M un point quelconque de l'espace, H sa projection orthogonale sur la droite PQ (149) et p, q, deux coefficients choisis arbitrairement ; si, pour fixer les idées, on suppose 0 intérieur au segment PQ et la direction OH identique à OQ, on aura les deux relations qui se tirent de

(2) p.PM^±qr.QM^ = (pztg)OM^+p.PO^±q'.QO'

par l'adoption simultanée, d'abord des signes supérieurs, ensuite des signes inférieurs.

En vertu de nos hypothèses topographiques, les angles POM, QOM sont, le premier obtus, le second aigu (accidentellement droits tous deux), et la considération des triangles représentés par les mêmes notations conduit aux deux égalités

Pm' = Ôm' — PC)' + 2 . PO . OH, Q\r = OM' +QÔ'-2.Q0.0H,