POINTS DONT LES DISTANCES \ DEUX POINTS FIXES, ETC

donnant

HnlNIn a HM a

HoMo + KoMo ai-b HM + KM a^b ou bien

HqMq g HM g

HqKo ~a + &' HK^g + ô'

d'où

HoM, = -^ HoKo, IIM = -^ HK,

parce que, les directions HqMo, K^Mq étant opposées, ainsi que HM, KM, les points M„, M sont intérieurs aux segments H,jKo, HK et donnent H^M^ -f KqMq = HoK,„ HM + KM = HK. D'autre part, les segments HoKg, HK sont égaux comme parallèles et compris entre deux parallèles (138, IV) On a donc HM=:H„Mo, et le lieu du point M est bien une parallèle menée par M,, à A,A.j, à B,B., par suite aussi (257).

n. Supposant enfin quelconques les directions données pour les distances, nous mènerons par un point quelconque M du lieu, une sécante HMK parallèle à quelque droite fixe non parallèle aux proposées.

Comme la direction PM est invariable, M tombe toujours d'un même côté de AjAj, et, par suite, la direction de HM est invariable aussi, celle de KM encore, pour une raison semblable. D'autre part (256), et en considérant un point fixe Mq du lieu, on aura les proportions

HM H„Mo KM K„M„ PM~P^' QM~Q,Mo'

qui, divisées membre à membre puis combinées avec les proportions supposées

PM a PqMq

QM~^~QoMo'

conduisent facilement à

HM H„Mo KM ~ KoMo '

Le lieu du point M est donc la parallèle menée par Mo aux droites proposées (I).

III. Pour construire le lieu en question, il suffit d'obtenir quelqu'un de ses points, par lequel on mènera une droite parallèle aux proposées. A cet effet, on tracera, à partir de deux points quelconques I, J des droites données et dans les directions imposées, des segments ïi, J; dont le rapport soit égal

à a:b, puis on joindra ij. Si cette droite est parallèle à AjAj, 6,62, un quelconque de ses points appartient au lieu, car ses distances à ces droites sont égales à li, Jj, offrant ainsi le rapport donné a : b. Sinon, elle coupera A,A2, 6,8.2 en H,K, et le point M divisant le segment HK dans le rapport H; : Kj, cela intérieurement quand les directions H/, Kj sont respectivement identiques à HK, KH, extérieurement quand elles sont l'une identique, Tautre opposée à ces deux directions (157), appartiendra certainement au lieu. Car, dans la première liN'polhèse réalisée par notre ligure, et en appelant P.M, Q.M les distances de ?.I à A, A.,, B.Bo, la considération des triangles équiangles HPM, HIz et de KQM, KJ/, équiangles aussi, donne les proportions