POINTS DONT LES DISTANCES A DEUX DROITES FIXES, ETC

Si, Cil outre, les distances HqMo» KqMo sont toutes deux ptirallèles aux directions données, dircctenicnt, et aussi H.M, K.M, les directions l\,lla, KII sont identiques, les points H,,, Il tombent d'un même côté de la droite B,iî^ (81) et, par suite, les directions Olly, OH sont identiques ; à cause de la proportion ('•.*), M est donc sur la demi-droite OM,, (258). Si les distances HM, KM sont parallèles aux mêmes directions, mais inversement, on prouve de la môme manière que M est sur la demi-droite opposée à OMq, ayant bien ainsi pour lieu la droite 0M„.

(juand les directions données sont identiques et que le rapj)ort donné a : /? est = 1, aucune droite HIv. {)arallèle à ces directions ne peut contenir un point du lieu, si elle ne passe pas par O ; car ce point diviserait extérieurement le segment HK non nul dans le rapport 1, ce qui est impossible |133). Mais, alors, le lieu est évidemment la droite menée par O parallèlement à ces directions identiques.

II. De là, on passe au cas général, par un raisonnement tout semblable à celui de l'alinéa II du n^ 259.

III. Pour obtenir un point du lieu, au moyen duquel celui-ci se tracera immédiatement, on construira, connue au n" 259, III, des segments li, 3j respectivement parallèles aux directions données, tous deux directement à la fois, ou inversement, ayant en outre leurs longueurs dans le rapport donné a : b. Si la droite Ij coupe les deux proposées en H, K, ailleurs qu'en O, on prouvera, comme au lieu cité, que le point M divisant le segment HK dans le rapport H/ : Kj, cela intérieurement ou extérieurement selon que les directions H/, ly sont opposées ou identiques, appartient au lieu, ou bien que le lieu est la parallèle à HK menée par 0, quand ce rapport est=l et que ces directions sont identiques.

Mais une construction plus sûre et plus expéditive consiste évidemment à mener par i, j des parallèles à A, A.,, 6,6^ respectivement, et à prendre leur point d'intersection m.

261. Si l'on n'imposait aux distances du point M à nos deux droites fixes AjA.^, B,Bo, parallèles ou concourantes, que la double condition d'oflrir le rapport constant a:b et d'être parallèles à deux droites fixes, sans rien préciser de plus sur leurs directions, le lien comprendrait les deux droites parallèles aux proposées dans le premier cas, concourant en leur intersection dans le second, que ion obtient en combiiuint de toutes les manières les directions possibles.

Quand A,.\.,, BjB.^ sont parallèles, l'une des droites de ce lieu disparaît dans le cas signalé à la fin de l'alinéa III du n^ 259.

On prouve facilement que, sur une même sécante quelconque, la paire des droites AjA^., BiB^ et celle des droites formant le lieu considéré actuellement, tracent toujours deux paires de points en rapport

harmonique (Chap. XVI, inf.), qu'ainsi, elles forment ce qu'on nomme un faisceau harmonique.

262. La distance PM que nous avons définie au n° 255, est oblique ou orthogonale, selon que la droite XjX^ réglant sa direction n'est pas ou est perpendiculaire à AjA^.

Soient PM, P'.M (fi(j. 54) deux distances d'un même point M à une mènie droite AjA.^, et p le pied de sa distance orthogonale ; chacune des trois relations alternatives

pP|pP'

entraîne sa correspondante dans le groupe semblable