PM ^ P'M

et réciproquement.

Les triangles M/jP, MpP', tous deux rectangles en p, donnent eflectivement (227)

PM'=pM'-i-pP", Fm'=pM"+pF\

ce qui rend évidente chacune des trois propositions réciproques dont il s'agit.

En particulier, la distance orthogonale est inférieure à toute distance oblique, propriété exclusive 'qui met en relief la distance orthogonale et lui fait donner le nom de distance proprement dite, dans tous les cas où il n'y a pas de confusion à craindre.

263. Le lieu des points M de l'intérieur (159) d'un angle rectiligne AOB (fig. 60) ou de son opposé au sommet A'OB', qui sont équidistants des côtés, est une droite ["iO^' partageant chacun de ces angles en deux parties égales.

Car les distances PM, QM demeurent respectivement parallèles à des droites fixes (100) et dans le rapport constant 1 ; en outre, la disposition topographique assignée aux points M impose à chacune d'elles, simultanément, une direction tantôt restant invariable, tantôt devenant opposée (260). Enfin, la i)artie 0;j de ce lieu, qui est intérieure à l'angle, y découpe les angles [îOA, [i;OB dont il est la somme, et ces deux angles sont égaux à cause de l'égalité des triangles MPO, MQO, ayant pour sommets O, un point M de ce lieu, et les pieds P, Q de ses distances aux côtés de l'angle proposé. Ces triangles sont eff"ectivement rectangles en P, Q, ils ont même hypoténuse OM, et leurs autres côtés PM, QM sont égaux par hypothèse.

Cette droite Op qui joue un très grand rôle dans les théories géométriques élémentaires, est la bissectrice de l'angle proposé.

A sa construction fournie par le procédé général expliqué au

BISSECTRICE D'UN ANGLE RECTILIGNE, d'UNE BANDE. 119

no 260, III, on peut substituer le moyen plus simple (jue voici. L'égalité des triangles rectangles MPO, MQO entraîne celle des segments OP, OQ, tous deux placés évidemment sur les côtés de l'angle eux-mônics, ou sur leurs prolongements, et le triangle POQ est isoscèle (237). On obtiendra donc la bissectrice, en portant sur ces côtés deux segments OP, OQ d'une même longueur (iuelconc[ue, en joignant PQ, et en abaissant de O sur cette droite la peri)endiculaire 01 (238). On pourrait également, mais moins commodément, joindre O au milieu 1 du segment PQ. Un artifice presque évident procurerait plus de précision dans le tracé : porter sur les côtés de l'angle deux segments égaux Oo, = Oft, , puis deux autres Oa^ ^= Ob.2 différents des premiers, et joindre O à l'intersection des droites

264. Le lieu des points quelconques du plan qui sont équidistants des droites AA', BB' se coupant en O, se compose évidemment de deux droites (261), l'une ,SO,j' bissectrice des angles AOB, A'OB' opposés au sommet, l'autre ,^,03',, bissectrice des angles AOB', BOA' encore opposés au sommet, que forme chacun des côtés de l'angle AOB et le prolongement de l'autre.

Ces deux bissectrices, sont nintnellemcnt perpendiculaires, parce que les angles BOA, AOB' étant supplémentaires (170, I), l'angle pOfj, somme de leurs moitiés A03, A0,8,, est égal à un droit (188).

Quelquefois, la bissectrice 0;i de l'angle AOB lui-même se nomme sa bissectrice intérieure, et 0;5i bissectrice de ses angles opposés par ses côtés, sa bissectrice extérieure.

265. Quand, au lieu d'être concourantes, les droites considérées AA', BB' sont parallèles, le lieu dont nous venons de parler se réduit évidemment à une seule droite parallèle aux proposées et divisant en deux parties égales la bande dont elles sont les côtés (140).

On obtiendra visiblement cette bissectrice de la bande, en

menant une parallèle aux droites AA', BB' par le milieu du

segment qu'elles découpent sur une sécante perpendiculaire ou même d'une autre direction quelconque.

266. IVe.xtension des résultats obtenus aux n" 259, 260 conduit à des propositions beaucoup plus vastes, qui les renferment tous.

Si l'on charge de masses invariables quelconques (dont la somme n'est pas nulle)

(3) di, tio, ■•.. ^kf les traces mobiles

(4) P„ P., ..., Pk,

(le k droites fixes quelconques A,, Ai, ..., A^ sur une sécante qui se

déplace parallèlement à une droite fixe arbitraire S, le lieu de leur centre de gravité M est une droite (137).

I. Le fait en question est exact quand le nombre k des droites données se réduit à deux.

Car alors, le centre de gravité des points Pj, P2 est le point M qui partage le segment Pi?, dans le rapport - sJ^ : rà^, c'est-à-dire dont le rapport des distances PjM, PvM aux droites données, mesurées parallèlement à certaines directions de la droite S, demeure égal à la valeur numérique de — a., : ^1 (259), (260).

II. Il est vrai pour les k droites considérées, s'il l'est pour les k — 1 premières.

Car pour obtenir le centre de gravité des k points (4), il suffit de chercher celui P des k — 1 premiers, puis celui M des deux points P' et I\, chargés de masses égales à trf' = tdi -|- jdg + •.. + s3k-i et td^. (137). Or P par hypothèse, et P^ en fait, sont les traces sur la sécante, d'une certaine droite fixe A' et de A^- Donc (I) le lieu de M est une droite.

III. Notre proposition est donc générale, car du cas de deux droites seulement (I) on retendra successivement à trois droites, puis à quatre, etc. (II).

267. La dislance algébrique d'un point M à une droite donnée A, mesurée parallèlement à une autre droite ^, est la distance définie au n» 255, prise positivement ou négativement selon que M est d'un côté de A préalablement désigné ou du côté opposé.

Cela posé, une droite est en génércd te lieu des points dont la somme des distances algébriques à des droites fixes, mesurées parallèlement à autant d'autres droites fixes et multipliées par des coefficients constants donnés, conserve une valeur constante donnée.

I. Comme le rapport des distances absolues PM, P M (fig. 54) d'un même point quelconque M à une même droite AjAs, mesurées parallèlement à deux droites fixes XiX^, X'^X',, conserve une valeur constante (256), il est évident que, quel qu'ait été dans l'un et l'autre cas le choix des distances positives et négatives, le rapport des distances algébriques du même point à A,Ao mesurées parallèlement aux mêmes droites conserve aussi une valeur constante. En d'autres termes, chacune de ces distances algébriques est égale à l'autre, multi])liée par quelque facteur constant.

II. Il résulte de ceci, que la somme des distances algébriques quelconques d'un point M à k droites fixes, multipliées par des coefficients constants est égale à la somme des produits, par d'autres coefficients constants n^, a.^, ..., tik, des longueurs algébriques P,M, PjM, ..., P/jM, des segments découpés sur une même sécante issue de M parallèlement à une droite fixe quelconque S, par ce point M et par les traces Pj, P2, ..., Pfc des k droites fixes.