GM-G'M

dont le premier membre est la longueur algébrique du segment GG" découpé par les droites F', F", lieux des centres de gravité G', G" (266), sur la sécante menée par M parallèlement à 11, segment devant ainsi conserver une longueur constante.

V. Si ces droites se coupent en un certain point O, ce segment est évidemment proportionnel à OG' (à OG" tout aussi bien), distance parallèle à F' (ou à F "), du point JNI à la droite S' menée par O parallèlement à S; comme ainsi cette distance doit conserver une valeur constante, le lieu est quelque droite parallèle à S (257), à S par conséquent.

VI. Quand les mêmes droites F', F" sont parallèles le segment G G" conserve par lui-mcme une valeur constante y. Si donc on a par hasard y =^ Q : <ï>, la condition (7) est satisfaite d'elle-même, et le lieu embrasse tous les points du plfiU. Sinon, il est impossible de lui procurer satisfaction, et le lieu cherché n'existe pas.

268 On remarquera que le théorème précédent renferme celui du n° 266, car le centre de gravité des points (4) n'est pas autre chose que le point M dont la somme des distances algébriques aux k droites fixes, mesurées parallèlement à une même droite S et multipliées par les coefficijnts (3), conserve la valeur constante 0.

On remarquera encore, que la somme des produits par des coefficients constants, des distances algébriques de tout point M à des droites fixes quelconques, est toujours égale, soit au produit par quelque facteur constant, de la distance algébrique du même point à une seule droite fixe, mesurée parallèlement à une autre droite fixe arbitraire, soit à une constante. C'est ce que le lecteur aura bientôt déduit des divers points de la démonstration du même théorème.

269. Dans l'espace, on nomme quelquefois distance d'un point M à une droite D, mesurée parallèlement à un même plan donné 'P (non parallèle à D), la distance (250) de ce point M à la trace P sur D, du plan mené par M parallèlement à 'X\ Cette

longueur, qui se confond avec la distance du point M à la droite D, mesurée dans le plan DM parallèlement à la trace de T sur ce plan (255), a encore pour pied le point P, et pour direction celle du segment PM. Elle est oblique, quand le plan ^J? et la droite D sont obliques l'un sur l'autre, orthogonale, quand ces dernières figures sont mutuellement perpendiculaires.

Dans ce second cas, où elle est inférieure aux distances " obliques (262), et qui est de beaucoup le plus intéressant, elle prend le simple nom de distance (proprement dite) du point et de la droite en question. A de pareilles distances seulement, s'appliquent les propositions qui terminent ce paragraphe.

270. Le lieu des points m. de l'espace dont les distances mP, mQ aux deux côtés de l'angle AOB (fig. 60) sont égales, ayant leurs pieds P, Q tous deux à la fois, soit sur ces côtés eux-mêmes, soit sur leurs prolongements, est le plan élevé par la bissectrice 03 de cet angle, perpendiculairement à son plan (263).

Soient P, Q les pieds des plans abaissés de m perpendiculairement sur OA, OB, non parallèles par suite, puisque ces droites ne le sont pas, se coupant suivant une droite mM perpendiculaire en M au plan AOB (106), (111) ; et joignons mP, mQ, ces segments étant les distances supposées égales de m à OA et OB, puis mM, MP, MQ.

Les triangles /tjMP, m}>lQ, tous deux rectangles en M (94), sont égaux pour avoir le côté commun Mm et leurs hypoténuses mP, mQ égales (232). Donc leurs troisièmes côtés MP, MQ sont égaux aussi ; d'où, comme ci-dessus (263), l'égalité des angles MOP, MOQ formés par OM avec les côtés OA, qui, euxmêmes tous deux, ou bien leurs prolongements, sont supposés contenir les points P, Q, c'est-à-dire la propriété pour OM d'être la bissectrice de l'angle AOB, et celle, pour m, d'être situé dans le plan élevé par cette bissectrice à celui de l'angle. Il est évident d'ailleurs, que tout point de ce nouveau plan est équidistant de OA, OB dans les conditions voulues.

271. En joignant Om, on forme les triangles mVO, mQO égaux comme rectangles en P, Q, ayant ,égaux leur hypoténuse comnume Om et leurs côtés mP, mQ. Les angles AO/?î, BOm sont donc égaux. Par conséquent, le plan perpendiculaire à celui de l'angle AOB suivant la bissectrice O'fi de celui-ci, est aussi le lieu (14) des demi-droites issues de O qui sont également inclinées, soit sur les côtés de l'angle, soit sur leurs prolongements.

272. Si dans les deux propositions précédentes, on remplace les côtés *de l'angle AOB par la totalité des droites dont ils font partie, les deux lieux identiques dont elles formulent l'existence deviennent l'ensemble des plans qui tracent sur le plan de cet angle