ABCD = CAB + ACD = - AB . HK + - CD . HK = - (AB + CD) . HK

314. L'aire d'un parallélogramme a pour mesure le produit d'une base par la hauteur correspondante. Car c'est celle d'un trapèze dont les bases sont égales, dont chacune par suite est égale à la demi-somme de toutes deux (309), (313).

315. L'aire d'un rectangle a pour mesure le produit de ses deux dimensions. Car c'est celle d'un parallélogramme ajant l'une de ces dimensions pour base et l'autre dimension pour hauteur.

L'aire d'un carré a donc pour mesure le carré (arithmétique) de la longueur de son côté. Car c'est celle d'un rectangle dont les deux dimensions ont le côté pour valeur commune. Telle est l'origine du mot carré appliqué au produit de deux facteurs

egciux ; chez les Anciens, effectivement, la connaissance de l'Arithniétique et de) l'Algèbre a toujours été en très grand retard sur celle de la Géométrie dont ils ont été les créateurs.

316. Un polygone plan étant donné, quelconque mais déchevêtré, on obtiendra la mesure de son aire en évaluant, d'une manière ou d'une autre, celles des triangles en la somme desquels on peut le décomposer (294), (312i, puis en faisant la somme des nombres ainsi trouvés.

Voici un autre procédé qui est indirect, mais bien plus commode en Arpentage, parce qu'il exige moins d'opérations graphiques. Les côtés (ou fragments de côtés) du polygone à mesurer, AECDEFGA (fig. 71), leurs projections orthogonales sur quelque même droite tracée dans son plan, et les distances des sommets à cette droite, limitent des aires trapézoïdales (et triangulaires) dont les mesures combinées par voie d'addition (ou de soustraction) conduisent évidemment à celle du poh'gone. Car l'aire de ce dernier est visiblement la somme de celles du triangle ÀB&, des trapèzes BCcZ>, CDrfc, du triangle Darf, des trapèzes EF/e, FG5/, GAa^, diminuée de la somme de celles des triangles AÀa, E[i.e.

317. Pour mesure de Faire d'un triangle ABC (fig. 68), on peut prendre encore le demi-produit de deux côtés quelconques BA, BC, par [sin x\BC| sinus de l'angle compris entre eux, si cet angle est aigu ou droit, de son supplément, s'il est obtus.

Car le triangle BHA, rectangle en H, donnera toujours

AH = BA|sin ABC| (243),

d'où, pour l'aire du triangle (312),

- BC.AH = - BA.BC |sin ABCJ,

formule aussi utile que simple et élégante.

Comme l'aire d'un parallélogramme est le double de celle d'un triangle formé par deux côtés contigus quelconques et la diagonale qui ne passe pas par la soudure de ceux-ci, on peut prendre, pour sa mesure, le produit de ces deux côtés par le sinus de leur angle ou de son supplément.

318. La considération des aires planes pohgonales fournit parfois des démonstrations extrêmement faciles, même intuitives. L'exemple le plus curieux est celle ci-après du théorème de Pythagore (227), que M. Laisant a bien voulu m'indiquer et qui, d'après Lucas, serait due à un géomètre hindou ou chinois, ayant vécu des siècles avant le philosophe de Samos.

Sur b, c, côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle d'hypoté-