CHAPITRE IX

Surfaces brisées, en général. — Surfaces prismatiques.

319. Des régions de plans limitées par des droites, demidroites ou segments rectilignes, puis assemblées de manière que chacune se raccorde avec quelque autre par une ou plusieurs de ces droites ou fragments de droites, forment une figure aj ant des analogies avec une ligne brisée (205 et siiiv.) et portant le nom générique de surface brisée ou polyédrique. Une figure de ce genre est formée par l'ensemble des murs d'une maison et des versants de son toit, quand ils sont tous plans.

Les faces d'une pareille surface sont les portions de plans ainsi assemblées ; son bord est l'ensemble des parties des portions de droites ci-dessus, par lesquelles il n'y a pas contiguïté entre deux faces, ensemble formant souvent une ligne brisée, mais pouvant comprendre des droites entières et des demi-droites, pouvant parfois disparaître ; les arêtes sont ces mêmes portions de droites, plus spécialement celles qui n'appartiennent pas au bord ; ses angles (dièdres) sont les dièdres (192) des faces desquels font partie deux faces de la surface, raccordées par une arête commune ; ses sommets sont enfin les points où se soudent, par des extrémités communes, des arêtes appartenant à des faces contiguês, principalement ceux de ces points qui ne sont pas sur le bord. On voit ainsi qu'une arête est en partie, en totalité moins souvent, l'intersection des plans de deux faces contiguês, qu'un sonmiet est le

GÉNÉHALITlis SUR LKS SUUIACES l'IUSMATiy LKS. 145

point de concours des droites de deux ou plusieurs arêtes contiguës, celui tout aussi bien des plans des faces contenant ces arêtes, quand toutefois leur nombre surpasse deux. Habituellement, il y a encore à considérer les angles solides de la surface (336, inf.).

On nomme diagonale, toute droite jjassant par deux sommets (jui ne sont pas situés sur une même face, et plan diagonal, tout plan mené jîar trois sommets ou deux arêtes remplissant la même restriction.

320. La plus simple des surfaces brisées a pour faces, ou pans, des bandes (138) se raccordant deux à deux par leurs côtés, alors tous parallèles (44) : c'est une surface prismaliqne, pour laquelle la dénomination de paravent ferait mieux image. Le bord est ici constitué par les deux côtés libres des faces extrêmes ; les arêtes sont les autres côtés des faces, par lesquels celles-ci se soudent ; il n'j' a aucun sommet. La direction d'un paravent est celle commune à ses arêtes et aux côtés de ses faces extrêmes, à laquelle toutes les faces sont aussi parallèles (49), Plusieurs observations se présentent immédiatement.

L Une translation parallèle à la direction d'un paravent ne fait que le réappliquer sur lui-même d'une autre maniire {Cf. 138, I).

IL Un plan parallèle à la direction d'un paravent ne peut le couper que suivant des droites toutes parallèles à ses arêtes (50). Mais, sur un plan non parallèle à cette direction, les faces du paravent, ses arêtes et ses angles tracent les côtés, sommets et angles d'une ligne brisée plane, dite section plane de la surface, entre laquelle et cette dernière existe une corrélation topographique très étroite qui est évidente. Par exemple, la sevde connaissance d'une section plane et de la direction du paravent permet de reconstituer immédiatement celui-ci par ses faces, bords et arêtes.

Les sections faites par des plans parallèles s'appliquent les unes sur les autres par de simples translations, par suite elles sont toutes égales entre elles {Cf. 138, 143 et 193, IV).

III. Quand ces plans parallèles sont perpendiculaires à la direction du paravent, c'est-à-dire à ses arêtes, à ses faces aussi par suite (107), les sections ont des rapports bien plus étroits encore avec lui; car les côtés de chacune et ses angles sont évidemment les largeurs (141) et angles plans (194) des faces et des dièdres de la surface dont ils sont simultanément les sections. Pour ce motif, on les considère de préférence, et on les dit droites.

IV. La somme des amplitudes des faces d'un paravent (139) est son amplitude superficielle {Cf. 205) ou encore son développement,

parce qu'elle est évidemment celle de la bande que l'on obtiendrait en développant la surface, c'est-à-dire en appliquant toutes ses faces sur un même plan, extérieurement les unes aux autres, après leur avoir conféré la liberté de tourner autour de leurs arêtes de soudure transformées en axes de rotation. Il est évident ainsi, que le rapport des amplitudes superficielles de deux paravents est égal à celui des longueurs de leurs sections droites (III).

Aires découpées sur deux plans par des surfaces prismatiques parallèles.

321. Une surface prismatique est fermée, quand les deux parties de son bord coïncident, cas auquel toutes ses sections planes le sont nécessairement aussi (208) et réciproquement, où ses angles et ses arêtes sont en nombres égaux; nous la nommerons plus simplement une moulure (polyédrique). On spécifie une moulure par une dénomination rappelant la forme de ses sections : on a ainsi les moulures triangulaires, quadrangulaires, pentayonales, ..., rectangulaires, carrées, ces deux dernières ayant des rectangles ou des carrés pour sections droites.

Dans la figure 85, on voit une moulure quadrangulaire, ses arêtes ad, a'd' , a"d", a"'d"' et ses sections aa'a"a"', b..., c..., d..., faites par quatre plans parallèles.

322. La définition du no 206 explique immédiatement par analogie ce qu'est un paravent enchevêtré ou déchcvêlré, dispositions dont celle existant pour la surface est évidemment commune à toutes ses sections.

Pour une moulure déchevêtrée, les notions d'intérieur, d'extérieur, etc., s'étendent immédiatement à toute droite parallèle à la direction de la surface et à tous les points d'une semblable droite, c'est-à-dire à tous ceux de l'espace. La marche des idées est la même que pour les polygones plans (292 et suiv.), la seule dissemblance étant que, au lieu de triangles dans un même plan, il faut considérer des moulures triangulaires de même direction, autrement dit parallèles. Il est évident qu'âne droite parallèle à une moulure déchevêtrée lui est intérieure ou extérieure, selon que, sur le plan d'une section et relativement à celle-ci, l'une ou l'autre de ces dispositions est celle de sa trace sur ce plan (Cf. 143).

Ensuite, on n'aura plus qu'à se laisser guider par les considérations des n°' 298 et suivants, pour arriver très facilement à la notion du rapport des amplitudes (dans l'espace) de deux moulures déchevêtrées.