COMPARAISON DES AMPLITUDES DE DEUX MOULURES

323. Quand deux moulures de ce genre sont parallèles, le rapport de leurs amplitudes est égal à celui des aires de leurs sections par un même plan quelconque {Cf. 144).

I. Quand deux moulures se superposent par quelque translation parallèle à un plan sécant (H9), le même déplacement superpose aussi leurs sections. Car le plan, si on le solidarise avec la moulure mobile, ne fait que se réappliquer sur luimême (Chap. Il, passim.).

II. Si les moulures considérées sont triangulaires et ont pour sections les triangles OPQ, ORS (fig. 6.5), présentant un sommet commun O avec des côtés opposés PQ, RS empruntés à une même droite, le rapport de leurs amplitudes est égal à celui de ces calés PQ : RS.

La démonstration se fait exactement comme celle du n" 303 s'appliquant aux aires de ces triangles, à la condition d'y remplacer ces aires et celles des parallélogrammes et trapèzes tels que aa'b'b, [m n], PiPiq^Qi, PiP^Q'^g^ ••■, p^it' les amplitudes des moulures parallèles aux considérées qui ont ces divers polygones pour sections.

III. Notre théorème est donc vrai pour les moulures triangulaires en question, puisque le rapport de leurs sections est égal aussi à PQ : RS (//)/(/.).

De ce cas, il s'étend de lui-même à celui où les sections ont soit un angle commun, soit deux angles jumeaux (304), puis à celui où les sections, alors équivalentes comme les moulures, ont un côté comnmn avec leurs sommets opposés sur une même parallèle à ce côté (305).

IV. // subsiste pour deux moulures triangulaires, quand nn angle de la section de l'une a ses côtés respectivement parallèles à ceux d'un angle de la section de l'autre. Car en imprimant à l'une d'elles la translation capable de superposer les sommets de ces angles, on superpose ces angles ou bien on les rend jumeaux sans changer ni l'amplitude de cette moulure, ni l'aire de sa section (I), (III).

V. // est vrai pour deux moulures triangulaires quelconques. Soient ARC, DEF et JARCJ, |DEF| les notations des sections et

des moulures elles-mêmes.

lo Si les sections ont parallèles leurs côtés BC, EF (fig. 74), une parallèle à ED, menée par B, rencontrera certainement en quelque point A' la parallèle à EF, par suite à BC, menée par A, et notre théorème est applicable aux moulures JA'BCJ, jDEFJ parce que, dans leurs sections, les côtés BC, EF sont parallèles ainsi que BA', ED (IV). Or les triangles ABC, A'BC sont équivalents (305) ainsi que les moulures correspondantes JABCi, JA'BCJ (III).

2o Si les côtés BC, EF (fig. 75) ne sont pas parallèles, les

parallèles à BC et à EF, menées par A et B respectivement, ne le sont pas non plus l'une à l'autre, et se couperont en quelque point A' donnant un triangle A'BC et une moulure jA'BCj équivalents encore à ABC et à jABCj, Notre théorème est donc vrai pour les moulures jABCj, |DEF|, puisqu'il a été démontré pour leurs équivalentes jA'BCj, iDEFj (1°).

VI. Soient maintenant M, N les mesures des aires des sections de deux moulures pohgonales parallèles quelconques, d'amplitudes }MJ, jNJ, puis m^, in.j, ni^, ..., /ij, /Jo, n.^, ... celles des aires des triangles en lesquels ces deux sections peuvent être décomposées (,294), et jm,(, Inj.it» l'^sl» •••» \i^i\, Uh'^ l".?!» ••• les amplitudes des moulures triangulaires et toutes parallèles aux proposées, qui ont ces divers triangles pour sections.

La proportion

i/"i) /n, [nu] ~~ m.2

existant entre ces quatre nombres (V) donne, par la permutation des moyens.

et, en procédant de la môme manière, on arrive à la suite de rapports égaux

K| t^ l"'al l"il \'h\ {"3!

/7î, m.y /?j, * ' ' yjj 11.2 n-j

On en conclut (303, V)

jm,i + [/».,} + 1/773! + ... }n,| + fno| + f».l + ... //!, -.-/72^ + ;7Î3-r ... ni -r n.2 T i^a -r • "

c'est-à-dire

M ~ N ' ou bien finalement

jMÎ M

iXj-N'

car des circonstances topographiques évidentes donnent

\m,\ + |m.,| + \m,\ + ... = jMJ, \n,\ + [/z,] + \n,\ + ... = {XJ ,

PLANS COLTÉS PAR DES MOULUHKS PARALLÈLES. 119

324. Les amplitudes de deux moulures quelconques sont entre elles comme les aires de leurs sections droites (320, lll), (Cf. 144, 194).

Car si on déplace ces moulures de manière à les rendre parallèles, elles tracent leurs sections droites sur un même plan quelconque perpendiculaire à leur nouvelle direction commune (323).

325. Si deux mêmes nwulures parallèles quelconques \M\, jX!, tracent sur un premier plan sécant les sections [d'aires) M', N' et sur un deuxième les sections M", X" correspondant aux premières, la relation lopoijraphique des premières sections et le rapport de leurs aires sont, la première identique, le second égal à ce qu'ils sont pour leurs correspondants \Cf. 145).

Car, sur chaque j)lan sécant, la relation topograi)hiqiie des sections est identique à celle des moulures elles-mêmes (322), et le rapport de leurs aires est égal à celui des amplitudes des mêmes moulures (323).