II), (C

C"est ce qui résulte de la permutation des moyens dans les

proportions

327. Etant donnés un plan fixe 'P, dit plan de projection, et une droite fixe D qui ne lui est pas parallèle, on nomme projection d'un point quelconque m de l'espace, faite sur le plan 'P, parallèlement à la droite D, la trace m' sur ce plan, de la droite parallèle à D, menée par m, droite dite la projetante de ce point.

Le cas le plus fréquent est celui des projections orthogonales, c'est-à-dire faites par des projetantes perpendiculaires sur le plan de projection. Les autres sont obliques (Cf. 149).

328. La projection d'une ligne quelconque est l'autre ligne constituant le lieu des projections des points de la première.

La projection de toute droite E non parallèle à D est toujours une droite aussi.

Les projetantes des divers points de la droite considérée sont effectivement des parallèles à D, s'appuyant toutes sur E, engendrant par suite (53) le plan mené par E parallèlement à D, dit plan projetant de cette droite E, plan dont la trace E' sur le plan de projection est évidemment la projection de E ci-dessus définie.

Quand cette droite est parallèle au plan de projection, sa projection est toujours parallèle à elle aussi (48).

Si elle était parallèle aux projetantes, les projetantes de tous ses points se confondraient avec elle (43), et sa projection dégénérerait en le simple point constituant sa trace sur le plan de projection.

329. La projection d'un segment rectiligne, absolu ou dirigé, est un autre segment, absolu ou dirigé aussi, qui est situé dans le plan de projection et se confond évidemment avec la projection du même segment, faite sur celle de la droite où il est découpé, parallèlement aux mêmes projetantes (328), (151 1. Si donc le segment à projeter était parallèle au plan de projection, sa projection lui serait égale en longueur (328;, (148,; elle serait nulle, s'il était parallèle aux projetantes.

La projection d'une ligne brisée en est une autre plane, trace sur le plan de projection, du paravent de direction parallèle aux projetantes, que l'on peut évidemment faire passer par la proposée.

330. La projection d'une aire plane pohgonale est l'aire du polygone plan, projection de celui que la proposée a pour contour.

Ces deux aires appartiennent ainsi à deux sections planes de la moulure unique qui projette le contour de la première. Il en résulte (326) que, pour une même direction donnée de droites projelantes, des aires quelconques P, Q, ..., situées dans un même plan ou dans des plans parallèles, sont proportionnelles à leurs projections P', Q', ..., même faites sur un plan jxu-allèle à celui de projection (Ibid.).

En d'autres termes, et quelle que soit l'aire P, on a

p étant un nombre dépendant seulement des orientations relatives des projetantes, du plan de projection et de celui des aires à projeter {Cf. 150).

Ce nombre p est toujours =rl, quand ces plans sont parallèles (326), mais =0, si le second d'entre eux était parallèle aux projetantes.

PROJECT, d'un segment, d'uNE AIRE PLANE POLYGONALE. 151

331. Les projections orthogonales (327j présentent des particularités fort importantes.

I. La projection orlhoijonale sur un plan (329), d'un segmenl recliligne (absolu) situé sur une droite, est égale au produit de sa longueur par le cosinus de l'angle aigu (ou droit) (pu est compris entre cette droite et sa projection [ou une droite quelconque passant par son pied dans le plan de projection).

Car cette projection n'est pas autre chose que celle du segment considéré, sur la jirojcclion de sa droite (ou sur la droite quelconque ci-dessus) (329), (244).

L'angle dont nous venons de parler est, par définition, l'angle xlu plan et de la droite considérés ; il jouit d'une propriété spéciale que nous ferons connaître plus tard (346, inf.).

IL Pour des projections orthogonales, la formule (1), relative aux aires, prend Informe particulière

(2) P' — P cos V,

V étant l'angle aigu ou droit du plan de l'aire à projeter, avec le plan de projection.

La forme et la position de l'aire P étant indifférentes, nous considérerons la projection orthogonale A'B'C (fîg. 76) d'un triangle ABC, ayant un côté BC parallèle à la trace XY de son plan sur celui de projection, cas auquel B'C est parallèle à XY comme intersection des plans A'B'C, BCB'C contenant respectivement les droites parallèles XY, BC.

La droite XY étant située dans le plan de projection qui est ici perpendiculaire aux projetantes, à AA' en particulier, on peut par AA' faire passer un plan perpendiculaire à XY (93), à ses parallèles BC, B'C en même temps (88 1, et si O, H, H' sont les pieds de ce plan sur ces trois droites, A'OA est le rectilignc

V du dièdre aigu comj)ris entre les plans A'B'C, ABC, le segment AH est une hauteur du triangle ABC et A'H', projection orthogonale évidente de AH sur la droite OA', est une hauteur aussi du triangle. A'B'C. On a donc (306)

parce que l'on a B'C = BC comme parallèles comprises entre parallèles, et A'H';= AH.cos V (I). Or cette dernière égalité se confond avec (2), si l'on y désigne par P, P' les aires des triangles sur lesquels nous avons raisonné.

III. Comme au n" 245 pour les projections sur un. axe, l'intervention d'un plan de projection auxiliaire, pris perpendiculaire aux projetantes, ramène immédiatement le calcul des projections obliques sur un plan, à celui des projections orthogonales.

332. Sauf le cas où une ligne brisée est tout entière dans un plan parallèle au plan de projection, la longueur de sa projection est inférieure à la sienne {Cf. 286).

Chaque côté de la ligne brisée étant la distance de deux points appartenant aux parallèles qui projettent ses extrémités, tandis que sa projection est leur distance orthogonale (283), celle-ci est inférieure au côté correspondant, ou bien égale si ce côté est perpendiculaire aux projetantes. Mais cette dernière particularité ne pourrait affecter tous les côtés, sans qu'ils fussent dans un même plan parallèle à celui de projection, cas excepté. La somme des projections des côtés est donc certainement inférieure à celle de ces côtés eux-mêmes.

333. Sous la même restriction, le théorème précédent est applicable à une aire plane polygonale P et à sa projection orthogonale P'.

Car l'angle aigu Y n'étant pas nul, on a cos V < 1 (240), moyennant quoi, P cos V est < P, et P' < P, en vertu de la formule (2).

334. De ce que nous avons vu au n° 331, II, on conclut immédiatement que l'aire, sinon la forme, d'une section plane d'une moulure quelconque, dépend uniquement de l'angle V formé par son plan avec ceux des sections droites, ou, ce qui revient au même {Ibid., I), avec la direction de la moulure, et nullement des autres particularités de l'orientation de ce plan.

Car, en appelant P l'aire et la section, et P' celle d'une section droite, la formule (2) donnera toujours P = P' : cos V.