CHAPITRE X

Surfaces pyramidales. — Angles solides en général.

335. Par la substitution d'angles rectilignes saillants, mémo rentrants, mais tous d'un même sommet, et de leurs côtés, faite à des bandes et à leurs côtés, les définitions du n» 320 deviennent celles d'une surface pyramidale, ou éventail, de ses faces ou pans, etc. Le bord se compose toujours des deux côtés libres des faces extrêmes ; les arêtes sont les demi-droites par les-

quelles les faces se soudent à leurs contlf^uës. Il y a un seul sommet, savoir celui (jui est commun à toutes les faces, et que représente l'articulation commune des nervures de l'ustensile à éventer.

Quand un plan contient le sommet d'un éventail, il ne peut le couper que suivant une ou plusieurs demi-droites ayant ce point pour origine conuiuuie.

Sinon, la section est une ligne brisée plane donnant une image topographique de l'éventail, qui est particulièrement nette (juand le plan sécant rencontre toutes les arêtes, à l'exclusion des prolongements de quekiucs-unes. Par exemple, la seule connaissance de cette image et du sommet, permet de reconstituer tous les éléments de l'éventail [Cf. 320, II). Des sections faites par des plans parallèles sont, non j)lus égales comme dans une moulure, mais homolhéliqiies (396, II, inf.).

La somme des faces d'un éventail est un angle plan pouvant être considéré comme son développement , et mesurant son amplitude snpei-ficielle {Cf. 320, IV; 205). Les considérations des no> 165 et 207 monlrent immédiatement en quoi consiste le mouvement pivotant d'une demi-droite qui déerit un éventail, dans l'un ou l'anlre des deux sens constants possibles.

La définition d'une ligne brisée enchevêtrée ou déchevêtrée (206) devient celle d'un éventail de l'un ou de l'autre genre, quand on substitue les faces et arêtes de celui-ci aux cotés et sommets de l'autre.

336. Une surface pyramidale est fermée, quand ses faces extrêmes se soudent aussi par une arête commune. Telles sont évidemment celles qui tracent sur quelque plan, des lignes polygonales fermées. Un pareil éventail se nomme quelquefois un coin ou pointe, mais presque toujours un cmgle solide ou polyèdre, ayant des faces et des dièdres en un même nombre employé pour le spécifier un peu: quand ce nombre est 3, 4, 5, ..., l'angle solide est dit Irièdre, tétraèdre, pentraèdre, ...

Entre tous, les angles triédres, dit simplement trièdres, ont une importance majeure.

Il importe de noter qu'un simple dièdre (192) peut, fort bien aussi, être considéré comme un angle solide ayant pour sommet un point pris arbitrairement sur son arête, avec des faces toutes deux neutres et deux arêtes opposées l'une à l'autre.

En ÔABCDE (fig. 95), on voit un angle solide pentraèdre qui a le point O pour sommet, et qu'un plan coupe suivant le pentagone ABCDE.

337. La notion d'amplitude (dans l'espace) peut être étendue comme il suit aux angles solides déchevêtrés (335) comprenant ceux qui sont convexes, c'est-à-dire où chaque face est un angle saillant dont le plan laisse toujours d'un même côté de

154 ANGLES SOLIDES, TRIEDRES PRIXCIPALEMEN'T.

lui toutes les arêtes autres que les côtés de cette face, et, par suite, toutes les autres faces (C/. 294).

I. Quand un trièdre est déchevêtré, aucune de ses arêtes n'est située dans le plan des deux autres ; inversement, trois demidroites de même origine, mais non situées dans un même plan, sont les arêtes d'un trièdre déchevêtré qui est unique, en outre convexe évidemment, si l'on ne prend pour ses faces que les angles saillants de ces demi-droites associées deux à deux. Pour chaque angle d'un trièdre convexe, oh prend le dièdre, évidemment saillant, auquel l'intérieur de la face ne contenant pas son arête est intérieur aussi. Un trièdre d'arêtes données est toujours pris convexe, quand le contraire n'est pas spécifié.

II. Les deux régions que découpe dans l'espace la surface d'un trièdre convexe, c'est-à-dire l'ensemble de ses faces, se distinguent par ces propriétés évidentes : tout point de l'une est intérieur à chacun des trois angles du trièdre (192), mais aucun point de l'autre ne remplit ces trois conditions à la fois (Cf. 292). La première région est Vlntérleur du trièdre ; la seconde est son extérieur. En considérant la section du trièdre par un plan rencontrant toutes ses arêtes (à l'exclusion de leurs prolongements), il est visible qu'une demi-droite issue du sommet lui est intérieure ou extérieure, selon que sa trace sur le même plan est intérieure à ce triangle (Ibld.) ou bien que, soit la même trace est extérieure à ce triangle, soit celle de son prolongement lui est intérieure.

III. En opérant maintenant avec des trièdres convexes de même sommet, leurs faces et arêtes, comme nous l'avons fait avec des triangles assemblés dans un même plan, leurs côtés et sommets (293), on arrive à la notion de l'Intérieur d'un angle solide déchevêtré quelconque, de son extérieur, puis de son amplitude (d'espace).

Mais il y a cette dissemblance, que l'extérieur du même angle solide peut, tout aussi bien, être décomposé en trièdres conve.ves juxtaposés e.vtérleurement les uns aux autres (opération dont l'analogue n'est pas possible pour l'extérieur d'un polygone plan), et qu'ainsi, pour la plupart des angles solides, ces mots Intérieur, extérieur, n'ont que des sens relatifs. Ils reprendraient cependant des significations absolues pour un angle solide convexe, dont la définition la plus brève consisterait à dire qu'il peut être coupé par un plan suivant un polygone convexe. Par exemple, l'extérieur d'un trièdre convexe est l'intérieur d'un autre trièdre encore déchevêtré et de mêmes faces, mais dont les angles (intérieurs) sont les repléments (192) des dièdres du proposé.

L'intérieur et l'extérieur de tout angle solide déchevêtré peuvent être dits replémentulrcs, puisque leur réunion reproduit la totalité de l'espace considéré comme rayonnant de leur sommet commun (Cf. 171).

AMPLITUDE d'un ANGLE SOLIDE. 15')

IV. Un plan quelconque non parallèle à l'arcte d'un dièdre, découpe évidemment son intérieur en ceux de deux trièdres déchevétrés, dont il est la somme géométrique; il en résulte que l'amplitude de tout angle solide peut être comparée à celle d'un dièdre considéré comme angle solide à deux faces seulement (336t, amplitude spéciale que, pour ce motif, nous distinguerons par le mot radiante.

Iiicyalités entre les angles ciiin même trièdre et entre ses faces.

338. Dans l'étude des figures formées par des droites et des plans issus d'un même point, dans des questions moins simples encore, la considération des trièdres a une importance de même ordre que celle du triangle dans le plan et dans toute la Géométrie. C'est notamment le cas de l'Astronomie, où ils interviennent continuellement.

Les six éléments d'un même trièdre, c'est-à-dire ses trois faces et ses trois angles, se comportent, les uns relativement aux autres, comme les côtés et les angles d'un même triangle, ceci à beaucoup d'égards, mais avec de grandes dissemblances aussi. On les dit conligus, adjacents, opposés, ..., dans les positions relatives caractérisées par ces mots pour ceux d'un triangle.

Pour les trièdres dont nous parlons dans ce chapitre, la propriété d'être tous convexes (337) demeure expressément sousentendue.

339. En substituant à 1, ou à 2, ou à 3 arêtes d'un trièdre donné, leurs 1, ou 2, ou 3 prolongements, on obtient 3, 3, 1, au total 7 autres trièdres convexes de même sommet, qui sont à considérer quelquefois, et que nous dirons ses jumeaux {Cf. 170). Ils lui sont opposés : chacun des trois premiers par une face, chacun des trois suivants par une arête, et le dernier, bien plus remarquable que les autres, par ou bien au sommet. Les observations suivantes sont évidentes, ou à fort peu près {Ibid.),

I. Deux trièdres OABC, OA,BC (fig. 77) opposés par une face BOC, ont égaux leurs faces se confondant en cette commune et leurs dièdres BOAC, BOA,C se confondant aussi, mais supplémentaires, les faces BOA, COA, les dièdres AÔBC, AÔCB de l'un, aux éléments semblables BOA,, COA,, AiOBC, A,OCB de l'autre.

II. Quand, notés OABC, OAB,C,, ils sont opposés par une arête OA, sont jumeaux et opposés, tantôt par le sommet O, tantôt par l'arête OA partant égaux, leurs faces BOC, B,OC, leurs dièdres BOAC, B,OAC, ; sont encore jumeaux, mais opposés, tantôt par des faces, tantôt par des côtés, partant supplémentaires, les faces AOB,

AOC el dièdres AÔBC, AÔGB de iiin, les faces AOBj, AOC„ les dièdres AOBiCi, AOC,B, de l'antre.

III. Quand, notés OABC, OAiBjC,, ils sont opposés par le sommet, sont opposés tantôt par le sommet, tantôt par les arêtes, partant respectivement égaux, les faces et dièdres de l'un aux faces et dièdres de l'autre. Les trièdres sont alors isomères (219).

340. Entre les angles A, B, C d'un même trièdre OABC {fig. 77) et l'angle dièdre neutre dZ, on a les inégalités

(1) 3Db> A + B-i-G> .)b (Cy. 211), et les trois autres du type

(2) A + Db > B -L C .

I. La première inégalité est évidente, car si elle n'avait pas lieu, l'un au moins des angles du trièdre serait neutre ou rentrant, ce qui est incompatible avec sa convexité.

II. En considérant, avec le trièdre proposé, son opposé OA,BC par la face BOC (339), puis cet autre OA,B,C opposé au précédent par la face COAi, puis enfin OA,BiC, opposé à ce dernier parla face A,OB, , et en représentant généralement par fUPQR] l'amplitude d'un trièdre noté UPQR (337, III), par [P] l'amplitude radiante d'un dièdre noté P {Ibid., IV), on a les trois relations

([OABC] + [OA,BC] = [A],

(3) rOA,BC] + [OA,B,C] = r3b-B], ([OA,B.C] + lOA.B.CJ=[CJ.

Effectivement, la réunion des intérieurs de deux trièdres opposes par une face reconstitue toujours celui du dièdre qui leur est commun, et ces dièdres communs sont : pour les trièdres figurant dans la première égalité, le dièdre A du proposé, pour ceux entrant dans la seconde, un dièdre d'arête BOB,, supplémentaire au dièdre B du proposé, pour ceux enfin de la troisième, un dièdre d'arête COCj, opposé par cette arête, égal par suite à C dans le proposé.

Or, la somme des premiers membres des égalités extrêmes surpasse celle de la mo3'cnne, car elle la reproduit avec addition de [OAB(^J — [OA,B,C,]. Il en est donc de même pour les seconds membres, d"où

[A]^[C]>[-X,-B], ou bien

inégalité équivalente à la dernière partie de (1), car les amplitudes radiantes des dièdres sont évidemment proportionnelles à leurs mesures angulaires.

INÉGALITÉS ENTRE LES ANGLES d'uN TlllÉUHE. 157

III. Le triédre opposé au proposé par la face BOC, a pour angles A, î)t — B, Ob — G (339, Ii; en lui appliquant donc l'inégalité (1), il vient

A !- (Ob — B) + (X. — C) > Ob,

c'est-à-dire le type même (2) de celles que nous avons en vue. La combinaison des relations (3) avec régalitc (l) du n" 362 (inf.) conduirait au même résultat d'une manière plus directe. En les ajoutant membre à membre, il vient cdcctivement

2 [[OABC] + [OA.BC] -f [OA.B.C]! > [Ob] ~ [C] + (A] - [B],

et la somme entre parenthèses est <(ObJ, car il faut réunir OAB,C à ces trois trièdres pour remplir le demi-espace ayant pour plancher le plan des quatre arêtes OA, OA,, OB, OB, et contenant l'arête OC, demi-espace dont l'amplitude radiante est [ÙL]. Il en résulte

2[.)b]>[0b] + [C] + [A]-[B], ou bien

[Bl + [X]>[Cj + [A]

donnant, comme ci-dessus (I),

inégalité du type (2).

L'intervention du triédre supplémentaire (351, inf.) ramènerait immédiatement, le présent théorème à celui du n-^ 342 {inf.), ou vice versa.

341. Avant de poursuivre, nous devons établir un iemme qui est utile ailleurs encore.

Sur tout plan parallèle à l'un de ses côtés {mais non perpendiculaire à l'autre), la projection orthogonale d'un angle rectiligne aigu, ou droit, ou obtus, est un angle aigu et moindre, ou droit et égal, ou obtus et supérieur.

Sur des plans parallèles, les projections d'un même angle étant égales comme ayant leurs côtés directement parallèles (193, IV), nous supposerons que l'angle AOB (fig. 78) est projeté en AOB' sur un plan contenant son côté OA, plan nécessairement perpendiculaire à BOB' projetant de l'autre côté OB.

I. Si la projection AOB' est aiguë, un plan élevé perpendiculairement à OA en un quelconque a des points de cette demidroite, tracera sur AOB' une perpendiculaire à OA qui rencontrera l'autre côté OB', lui-même (213), en quelqu'un de ses points b'. Sur le plan projetant B'OB, le même plan perpendiculaire tracera une perpendiculaire de pied b' au plan AOB', parce que lui et le plan projetant sont tous deux perpendicu-

laires à AOB' (111). Cette perpendiculaire rencontre l'autre côté OB de l'angle considéré, lui-même, parce que le plan de projection AOB' n'étant pas, par hypothèse, perpendiculaire à OB, cette dernière droite située dans le plan B'OB perpendiculaire à AOB', ne peut l'être à OB' (113), qu'ainsi elle est rencontrée par la perpendiculaire en quelque point b, ayant b' pour projection, qu'ainsi, par conséquent, ObB est bien la demi-droite qui a OB' pour projection. Le triangle OoB étant rectangle en a, parce que la droite ab est située dans le plan cjue nous avons élevé en a perpendiculairement sur OA, son angle aOB, c'est-à-dire l'angle AOB que nous projetons, est forcément aigu.

Dans les triangles Oab', Oab, tous deux rectangles en a, on ;) maintenant

tangAOB' = — , tangAOB = — (240), Oa Oa

et le triangle ab'b, rectangle en b', donne

ab' < ab (230) ;

il en résulte et l'on a bien

tangAOB' <tangAOB,

AOB' < AOB,

puisque ces deux angles sont aigus (242).

II. Si la projection AOB' est un angle droit, son côté OA perpendiculaire à OB' dans le plan de projection, l'est aussi au plan projetant BOB' perpendiculaire à celui-ci en leur intersection OB' (113); il l'est donc à OB, droite du plan BOB', et l'angle AOB que l'on a projeté est droit aussi.

III. Quand enfin AOB', projection de AOB, est un angle obtus, on constatera bien facilement que, des deux angles AjOB', A,OB, leurs jumeaux opposés par leurs côtés OB', OB, partant leurs supplémentaires, le ])remicr est encore la pi-ojcclion du second sur le même plan ])rojctant contenant aussi OA,. Comme AjOB' est aigu parce que son su])plémenl AOB' est supposé obtus, A,OB est aigu aussi, et l'on a A,OB' < A,OB (I); AOB, supplément de AjOB, est donc obtus comme sa projection, et, entre ces deux angles, on a l'inégalité inverse de celle-ci et de la précédente (I)

AOB' > AOB.

L'exactitude de notre proposition est assurée par la combinaison des trois points ci-dessus.

INÉGALITÉS ENIRR LES FACES d'UN TRIÈDUE, 159

342. Entre les faces a, b, c, d'un trièdre quelconque OABC et l'angle rectiliyne replet 01 [valant 4 droits (188)], on a l'incyalilé

(4) 0 <ai-b + c <3i, et les trois autres du type

(5) a<b-\-c {Cf. 288).

I. La première des inégalités (4) étant toujours évidente, et la seconde l'étant quand le trièdre n'a que des faces non obtuses, puisque leur somme ne j)eut atteindre seulement 3 droits, ou même quand une seule face est obtuse, puisque l'addition de celle-ci essentiellement saillante, c'est-à-dire < 2 droits, et des deux autres supposées chacune ^ 1 droit ne peut conduire qu'à un total < 4 droits, nous n'avons à l'établir que pour un trièdre possédant deux faces obtuses au moins.

A cette fin, nous projetterons orlhogonalement OA, arête commune à ces deux faces, en OA' (fig. 79) sur le plan de la troisième BOC, contenant leurs côtés OB, OC, et nous observerons que les deux premières faces étant obtuses, leurs projections le sont aussi (341, III), qu'en conséquence, OA' ne peut se trouver à l'intérieur, ni de cet angle BOC, ni des angles droits BOp, COy contigus extérieurement à celui-ci par ses côtés OB, OC respectivement ; autrement, en effet, OA' ferait un angle aigu, droit au plus, avec OB ou OC.

Cette demi-droite OA' étant ainsi à l'intérieur de l'angle saillant ^Oy, on a

(6) BOC^B03 + .SOA' + COy + yOA'= 01,

où tous les angles du premier membre sont pris saillants.

Cela posé, si OA' est intérieure à BjOCj opposé au sommet de BOC, les angles BOA' = BOfi -f BOA' et COA' = COy + yOA' sont tous deux saillants, fournissent par suite les projections des faces obtuses BOA, COA, donnant ainsi [Ibid.)

(7) BOA' > BOA, COA' > COA , et l'égalité (G) conduit bien à

(8) BOC -i- BOA + COA < 0Î ,

c'est-à-dire l'inégalité (4) qui était à prouver.

Si, comme dans notre figure, OA' est extérieure à B,OC,, à l'intérieur de COB, pour fixer les idées, les angles saillants BOA', COA' = COy-fyOA' sont les projections de BOA, COA, et, comme le premier est par lui-même inférieur à l'angle rentrant replémentaire, BOA' = B0f5 -{- pOA', l'égalité (6) donne déjà