BOC -{- BOA' + COA' < ÎR

A plus forte raison, les inégalités (7) conduiront donc encore à (8).

II. Comme le triédre OA,BC {fig. 11), opposé à OABC par leur face commune BOC = a, a pour autres faces les suppléments j)b — b, % — c de leurs contiguës b, c dans le proposé (339, I), l'application de l'inégalité (4) à ce nouveau triédre conduit à

a + ( Ob — 6) + ( Jîi — c)< 31 ,

se réduisant, à cause de 2X = Si, au spécimen du type (5) que nous avons écrit.

On pourrait établir ces relations directement, mais au prix de longueurs que nous préférons éviter.

343. La remarque finale du n" 340 est applicalile au théorème précédent. Nous ajouterons que l'on retrouverait toutes ces inégalités en ciiscutant les conditions dans lesquelles il est possible de construire un triédre dont on donne, soit les trois faces, soit les trois angles, problème dont nous dirons un mot à la fin du no 357 (inf.).

Cette autre méthode ne serait plus un tour de main sans portée, comme la considération du triédre supplémentaire.

344. La somme des faces [ou développement (335)] de loiit annir solide convexe est inférieure à l'angle replet (valant 4 droits).

I. Soient NOP, une face d'un angle solide convexe, puis MON, POQ celles qui se soudent à elles par les arêtes OX, OP, et 01 celle des dcmi-droilcs découpées sur l'intersection des plans MON, POQ par le plan NOP, qui, par rapport à ce dernier, tombe dans le demi-espace opposé à celui où se trouvent toutes les arêtes de l'angle solide {sauf ON, OP). La substitution aux trois faces considérées, des deux angles plans évidemment saillants (neutres quelquefois) MOI, lOQ, fait naître un nouvel angle solide à une face de moins que le proposé, qui est toujours convexe (ou se réduit à un dièdre).

Pour abréger, nous supprimerons la démonstration qui n'offre aucune difficulté.

II. La somme des faces de l'angle solide proposé est inférieure à ce qu'elle est pour le nouveau; car, dans le passage de l'un à l'autre, elle perd la face NOP du triédre OXIP, évidemment convexe, et gagne la somme des deux autres NOI 4- lOP qui surpasse celle-ci (342i.

III. Comme l'exécution d'une opération de ce genre sur le nouvel angle solide ainsi obtenu, puis sur ceux qu'elle fait successivement dériver de lui, procure une suite de pareils angles, où la somme des faces va en augmentant sans cesse, et qui aboutit à un triédre où elle est <4 droits (Ibid.) [même à

INÉGALITÉS ENTRE LES FACES d'UX ANGLE SOLIDE. ICI

un (Hèdrc radianl (337, IV), si l'on faisait un pas de plus], cette même somme, à plus forte raison, est inférieure à 4 droits pour l'angle solide proposé.

Ce théorème explique, pour la surface d'un angle solide convexe dont les faces rigides seraient cependant articulées en toute liberté par leurs côtés communs, l'impossiliilité d'être appliquée sur un plan par développement {Cf. 320, IV; 335), sans rupture de quelque articulation, ou bien sans que quelque face ne vienne en doubler une autre. Cette impossibilité qui n'existe jamais pour un paravent, ni pour un éventail (ouverts), disparaît pour certains angles solides non convexes, pour ceux évidemment que l'on réalise avec des feuilles de papier, pliées en forme des filtres employés par les chimistes.

345. Quand les fdccs d'un angle solide sont toutes saillantes, une quelconqae d'entre elles est inférieure à la somme des autres {Cf. 287).

Pour plus de simplicité, nous raisonnerons sur un angle convexe ayant 5 arêtes seulement A, B, C, D, E, écrites dans l'ordre où elles se succèdent sur l'angle. Sa décomposition par les plans diagonaux AC, AD donne trois trièdres tous convexes {Cf. 294), dont les faces satisfont aux inégalités du

type (5),