AE < AB -1- BC + CD 4- DE

346. Pour la rapprocher du lemme du no 341, auquel elle équivaut à fort peu près, nous placerons ici la proposition suivante.

Quand une demi-droite OB {fig. 78) est oblique à un plan, cas auquel elle fait .avec sa projection orthogonale OB' sur ce plan un angle aigu BOB' que nous avons nommé l'angle de cette droite et du plan (331, I), cet angle est inférieur à celui compris entre OB et toute autre demi-droite issue de son origine O, dans le plan considéré.

Si cette autre demi-droite OA fait un angle aigu avec OB', elle a celle-ci pour projection orthogonale sur le plan BOB' qui, tout à l'heure, projetait OB sur le plan considéré, et l'angle BOA en discussion se projette en BOB' sur le même plan. Cette projection étant aiguë, on a bien BOB' < BOA (341, 1^. Si l'angle B'OA est droit ou obtus, l'angle aigu BOB' lui est, pour cette seule cause, inférieur.

162 AXGLES SOLIDES, TRIÈDRES PRINCIPALEMENT.

C'est à cette propriété de l'angle d'une droite et d'un plan, que nous avons fait allusion en le définissant (331).

Comme en prolongeant en OB',, OA, nos demi-droites OB', OA, on forme en BOB',, BOA, les suppléments des angles considérés BOB', BOA, entre lesquels l'inégalité est inverse, et que OA, n'est, comme OA, qu'une demi-droite issue arbitrairement de O dans le plan en question, on voit en même temps qu'avec le prolongement de sa projection, la mênw demi-droite OB fait un angle surpassant au contraire tous les autres compris entre elle et les demi-droites issues dans le plan, de son pied O.

Rien de ceci ne subsiste quand OB est perpendiculaire sur le plan, car sa projection dégénère en le seul point O, et tous les angles tels que BOA sont droits, égaux entre eux par suite.

Cet angle droit est dit encore celui de la demi-droite et du plan.

Deux figures solides, formées chacune par un plan et une demi-droite issue de l'un de ses points, sont égales quand elles présentent des angles égaux ; cette égalité a lieu d'une seule manière, quand ces angles sont aigus, de deux quand ils sont nuls, d'une infinité quand ils sont droits. Pour appliquer les figures l'une sur l'autre, il suffit évidemment de superposer les côtés correspondants de leurs angles quand la valeur commune de ceux-ci n'est jkis nulle, les plans, puis les demidroites, par glissement de l'un sur l'autre, quand elle l'est.

Trièdres homotaxiques ou aniifaxiqiies. — Trièdres siipplémeniaires. — Trièdres rectangles.

347. C'est surtout dans l'espace, qu'une grande importance s'attache aux relations topographiques expliquées antérieurement entre des figures dont tous les points sont, tantôt sur une même droite (132), tantôt dans un même plan {±77 et suiv.), (217 et suiu.). Mais cette dernière étude facilitera singulièrement celle un peu moins simple que nous avons présentement à faire.

I. Si O'A'B'C, 0"A"B"C" sont les positions dans lesquelles un même triêdre (convexe) mobile OABC a été placé par Vaddnclion successive de quelqu'une de ses faces BOC dans les positions B'O'C, B"0"C" situées sur un même plan 9? et dans une même direction giratoire de celui-ci choisie à volonté (179) {que nous dirons élue), les positions correspondantes O'A', 0"A" rfe sa troisième arête OA sont toujours d'un même côté de y? {Cf. 177, I).

On raisonnera exactement, comme au lieu cité, en s'appuyant sur ce que l'égalité mutuelle des angles B'O'C, B"0"C" (égaux tous deux à BOC) et leur homotaxie (plane) supposée, permettent

TRIÈDRKS HOMOTAXIQUES, ANTITAXFQLT.S. 1G3

de déplacer OABC de O'A'B'C à 0"A"B"C"par simple glissement de sa face HOC sur le plan a\ opéré de B'O'C à C'O'C" (179i, et sur ce que ce mouvement laisse la demi-droite OA dans le demi-espace du plancher "ï", qui contient sa position initiale (121).

II. Si 0"'A"'B"'C"' est une troisième position du trièdre mobile, dans laquelle une antre face AOC dont la notation se déduit de celle de BOC par la permutation de l'une des lettres B, C affectées à des arêtes avec la troisième A, a été amenée en A"'0'"C"' sur le })lan ^S et toujours dans la direction élue, Varète 0"'B"' est an contraire du côté de ce plan où ne se trouve pas O'A' {Cf. 177, II).

On raisonnera comme au lieu cité, après avoir amené OABC, de O'A'B'C à 0'a';i'G', par une rotation d'amplitude égale à celle du dièdre dirigé B'O'G'A', exécutée en sens contraire et autour de son arête OC, fixée en O'C ; on constatera de la même manière que O'^' est placée du côté de 'P où n'est pas O'A', que l'angle rectiligne a'O'C est dans la direction élue, que, par suite (I), O'^' est du même côté que 0'"B", quainsi O'A' est du côté opposé.

III. Si enfin O^'A'^B^^C'^ est une quatrième position de OABC, où celle A'^^O'^B'^', dans le plan 'P et dans sa direction élue, a été prise par AOB, face du trièdre mobile dont la notation se déduit de celle de la face BOC considérée dans l'alinéa I, par une permutation circulaire des trois lettres A, B, C, affectées aux arêtes, l'arête Oi'^'Ci^' est du même côté de T que O'A'.

Comme une permutation circulaire de trois objets équivaut à deux permutations successives, chacune de deux d'entre eux (217, II), nous comparerons les unes aux autres les trois positions de notre trièdre, O'A'B'C (I), 0"'A"'B"'C"' (II) et celle-ci OivAivBivCiv,

Leurs faces B'O'C, A"'0"'C"', A^^O^^B^^ étant toutes sur le plan $ dans sa direction élue, 0"'B'" est du côté de ce plan où ne se trouve pas O'A', parce que la notation AOC se déduit de BOC par la permutation des deux lettres A, B (II), du côté aussi où ne se trouve pas O'^C'^, parce qu'on passe de AOC à AOB par la permutation de C avec B ; O'A', O'^C'"'' sont donc d'un même côté de ^S.

348. Etant donnés deux trièdres 0|A,B,C|, 0.,A.,B.,C.,, entre les arêtes desquels a été établie la correspondance indiquée par ces notations, on conclut facilement des considérations précédentes, que, si, successivement, l'on place en homotaxie sur un même plan 'P, les faces B,0,C,, C,OiA,, A,0,B, de l'un, dont les notations ne diffèrent que pai- des permutations circulaires des lettres affectées aux arêtes, puis les faces homologues B^O^Cj, C2O.2A2, A2O2B.2 du second, les demi-espaces de plancher M?, où alors se placent sinuiltanément (^347, Illj, tantôt /es art'/t'i' 0,A,, 0,B,,

0,C, du premier, tantôt les arêtes O.^Â.^, O.^B.^, OgC^ du second, sont toujours identiques ou toujours opposes.

Nous dirons ces trièdres homotaxiques dans le premier cas, antitaxiques dans le second {Cf. 178).

I. Si les trièdres OiAiB,G,, OoA,^B.^Co sont égaux (de la manière indiquée par ces notations), ils sont homotaxiques {Cf. Ibid., I).

II. Il est évident que deux trièdres sont homotaxiques ou antitaxiques, selon que leurs relations avec un même troisième sont identiques ou différentes {Cf. Ibid., II).

III. La relation entre les deux trièdres 0|A|B,C,, O^A.^B.^C^ est toujours changée par une permutation des notations de deux arêtes dans celle d'un seul {Cf. Ibid., III).

Car le trièdre 0,A,BiC, étant toujours anlitaxique à lui-même écrit 0,BiA,Ci (347, II), le trièdre O.^A.^BX.^ est antitaxique aussi au second s'il est homotaxique au premier, mais homotaxique, s'il y a antitaxie entre lui et le premier (II).

IV. Cette relation n'est changée par aucunes permutations circulaires des notations des trois arêtes dans un trièdre, dans tous deux aussi bien.

C'est ce qui résulte, soit de la définition même, soit encore de ce que la substitution de B.,, C.,, Aj par exemple à A.^, B.,, C.^ respectivement, équivaut à la permutation de A^ avec C.^, suivie de celle de C.^ avec B.^ (III).

V. Si, sur un même plan, mais dans des directions opposées, on porte en B',0'C',, B'^O'.X'a des faces homologues de deux trièdres 0,A,B,Ci, 0.^.\.2B.,C.2, les positions simultanées 0'|A'|, 0'.;A'2 de leurs arêtes opposées sont de part et d'autre de ce plan, ou bien d'un même côté, selon que ces trièdres sont homotaxiqiws ou antitaxiques {CJ. Ibid., IV).

Car le prolongement 0\<^\ de OiB, donnera le trièdre 0',.\'i^'iC', qui lui et sa face fi',0',C', sont évidemment antitaxiques à O'iA'iB'iC, et à sa face B'jO'iC, (349, I, inf.) ; on raisonnera ensuite comme au lieu cité avant le précédent.

349. La considération de trièdres jumeaux (339) conduit à des observations utiles {Cf. 180).

I. Deux trièdres jumeaux OABC, OAiBC opposés par une face BOC sont toujours antitaxiques.

Car la face BOC du premier étant identique à celle BOC du second, elle lui est en particulier homotaxique sur un même plan, et leurs troisièmes arêtes OA, OA, tombent de part et d'autre de ce plan, comme opposées l'une à l'autre (348).

II. Deux trièdres OABC, OA,BiG opposés par une arête OC sont homota.viques.

Car tous deux sont antitaxiques (I) au même trièdre OA,BC qui, opposé au premier par la face BOC, l'est aussi au second par la face COAi {Ibid., II).

TRIKDriES SL'FI'LÉMENTAIUKS. 165

IH. Deux Iricdres OABC, OA,B,C, opposés par le sommet sont anlilaxiqiics.

Car un même triùdre OA,B,C est homotaxi(iue au premier, comme opposé par l'arèle 0(> (II), mais aiilitaxiquc au second, comme opposé par la face AiOBj (I), (348, II).

350. Si, par le sommet d'un trièdre OABC (fig. 80) et perpendiculairement à chacune de ses faces BOC, on mène une demi-droite O 11 située du même côté du plan de cette face cpie l'arête opposée OA, réciproquement ce trièdre peut être déduit par les mêmes constructions, du nouveau trièdre Olo'BS ainsi obtenu. Ces deux trièdres sont ho.'uota.viques, et toute face ;B03 de l'un est le supplément de l'angle plan du dièdre OA de l'autre, dont l'arête lui est perpendiculaire.

I. Les arêtes O i3, 03 du second trièdre sont perpendiculaires à celle OA du premier, jlnrce que celle-ci est située à la fois dans les plans AOC, AOB qui sont perpendiculaires à O^B, 03 par construction (94).

Toutes deux sont donc dans le plan mené par O perpendiculairement à OA, et elles le déterminent parce que, si elles étaient identiques ou opposées, les faces AOB, AOC du premier trièdre seraient dans un même plan, et ce trièdre ne serait pas convexe.

Comme, en outre, la demi-droite 0--l>, perpendiculaire sur le plan BOC, a été choisie du même côté de lui que OA, l'airgle AOli. est forcément aigu ; à cause de cela, et parce que le plan t603 est perpendiculaire à OA, ces mêmes demi-droites sont aussi d'un même côté de celui-ci.

II. Les demi-droites 0,a, 0{ élevées perpendiculairement à OA dans les faces AOC, AOB du premier trièdre, respectivement, sont situées dans le plan y303 perpendiculaire à cette arête, et sont respectivement perpendiculaires à 0:Ji, 03, comme étant dans les plans AOC, AOB perpendiculaires à ces dernières. En outre, le choix des demi-droites 0.t3, 03 rend leur angle 9503 antitaxique à ^Oy, dans le plan OtiSS^iy contenant tous leurs côtés (191). Ces deux angles sont donc supplémentaires (190).

m. Le trièdre 0^1)933 est homotaxique à 0A-B3, parce que leur face commune 3303 laisse les arêtes opposées O-X, OA d"un même côté d'elle (I) ; celui-ci l'est encore à OAy^, parce que leur arête commune OA est opposée à des faces i)303, 7O3 homotaxiques dans un même plan (II); il y a enfin homotaxie entre ce dernier et OABC parce que leurs faces AOy, AOB, portées toutes deux dans le même demi-plan OAB, à partir de la même demi-droite OA, sont homotaxiques, et que leurs arêtes opposées O3, OC sont situées dans un même demi-plan OAC passant par OA, par suite d'un même côté du plan AOB. Il y a

donc homotaxie entre 0-X^Q et OABC, termes extrêmes de cette suite de trièdres homotaxiques (348, II).

351. De pareils trièdres sont dits supplémentaires, et leur considération procure quelques ressources au raisonnement (340), (343), (354, et siiiu., inf.).

Une demi-droite est déterminée sans ambiguïté par la double condition d'être perpendiculaire à un plan donné issu de son origine, et de donner un trièdre homotaxiqueà un trièdre donné, par son association avec un angle placé sur ce plan dans l'une de ses directions (giratoires) donnée. Inversement, quand la demi-droite est donnée, ces mêmes conditions déterminent complètement le plan, en position et en direction (giratoire).

Cette correspondance étroite procure à chacune de ces figures une représentation par l'autre, représentation qui, parfois, est extrêmement utile en Mécanique, en Géométrie aussi, en permettant de substituer à des plans dirigés, des demi-droites d'une conception et d'un maniement beaucoup plus faciles. Et même, on prouve facilement que l'angle (convenablement défmi) de deux plans dirigés est égal en grandeur à celui des demi-droites, leurs représentantes.

Ici, chaque arête d'un trièdre représente une face de son supplémentaire, imparfaitement toutefois, parce que l'angle de deux arêtes est, non égal, mais supplémentaire au dièdre compris entre les faces correspondantes du second trièdre.

352. Les trièdres dont un ou plusieurs angles sont des dièdres droits, sont comparables aux triangles rectangles, d'une manière toutefois fort vague.

I. Quand un trièdre a une face perpendiculaire à une autre, on le dit rectangle (en l'arête intersection de ces deux faces).

II. Quand deux faces sont perpendiculaires à la fois sur la troisième, elles sont toutes deux des angles (rectiligncs) droits, car leur intersection est perpendiculaire sur la troisième face (111), par suite, sur leurs côtés situés dans cette face. Un pareil trièdre ayant droits ainsi, deux angles et, en même temps, les deux faces opposées, est birectangle.

III. En coupant un dièdre droit par un plan perpendiculaire à son arête, par suite à ses deux faces simultanément (107), on obtient deux trièdres nommés trirectangles, parce que chacun d'eux est doué alors de trois angles droits et aussi de trois faces droites, comme étant birectangle de trois manières (II).

Une grande analogie existe entre le trièdre trirectangle dans l'espace, et l'angle droit considéré dans un même plan. Par exemple, il est évident que tous ses jumeaux (339) sont trirectangles aussi, et encore, qu'en superposant deux faces de deux trièdres trirectangles, ils se superposent aussi, ou sinon deviennent des jumeaux opposés par cette face ; etc.

THIKDKi; TlilHKCTANGI.K. 1 07

Dans certaines questions de Géoniétiie analytlfiuc, en Mécanique, etc., la considération des Iriédres Irirectanglcs rend de très grands services.

On en retrouve dans quantité d'ol)jcts façonnés par la main humaine (encoignures des pièces de nos habitations, angles solides des caisses d'emballage, des dés à jouer, ...) ; en OXYZ (fig. 81), on en voit un (en perspective).

IV. On remarquera que le supplémentaire (351) d'un trièdre birectangle est birectanglc aussi, et que celui d'un trièdre trirectangle se confond avec lui.

Principaux cas iréijnlitc on dlsomérie de deux trièdves.

353. x\près avoir rappelé que deux figures quelconques sont isomères, quand les segments rectilignes, angles plans et dièdres de l'une sont respectivement égaux aux éléments correspondants de l'autre (219), nous dirons, en thèse générale, que, pour deux triédres, et à l'instar de ce qui a lieu pour les triangles, mais sans l'exception présentée par ceux n'aj'ant égaux que des angles (214), Végalité de trois élémeiils de même mdnre on bien consécutifs, entraîne toujours celle des trois autres, partant, l'isomérie complète des triédres.

Mais, il importe de le retenir, leur égalité exige en outre leur homolaxic (348), condition supplémentaire que nous constaterons suffisante.

354. Deux triédres OABC, O'A'B'C sont égaux, quand ils sont honiotaxiqucs, et qu'une face BOC avec ses dièdres adjacents OB, OC sont respectivement égaux éi la face B'O'C et aux dièdres O'B', OT/ qui leur correspondent dans l'autre {Cf. 216).

Déplaçons le premier de manière à api)liquer simultanément les côtés OB, OC, de sa face BOC sur les côtés O'B', O'C de la face égale B'O'C de l'autre. Comme ces triédres sont homotaxiques, la troisième arête OÂ du premier vient en une position O'A" située du même côté du plan BOC que l'arête O'A'.

Les dièdres C'O'B'A', C'O'B'A" sont donc, non seulement égaux, mais portés dans des sens identiques à partir de leur face commune C'O'B' ; donc les plans B'O'A', B'O'A" qui constituent leurs secondes faces, coïncident, et on prouvera de même que les plans C'O'A', G'O'A" se confondent. L'arête O'A", intersection des plans B'O'A", C'O'A", se confond donc avec O'A', intersection des plans identiques B'O'A', C'O'A', et la superposition complète des deux triédres a été réalisée.