Deux triédres homotaxiques OABC, O'A'B'C sont égaux

quand un dièdre OA dans l'un et les deux faces AOB, AOC qui le comprennent, sont respcctiuement égaux aux éléments correspond dants O'A', A'O'B', A'O'C de F autre (Cf. 216).

Nous amènerons encore le premier trièdre en une position telle que les côtés OA, OB de sa face AOB soient respectivement appliqués sur les côtés O'A', O'B' de son égale A'O'B' dans l'autre, et nous nommerons O'C" la position prise alors par sa troisième arête OC, et située du même côté du plan A'O'B' que O'C, à cause de l'homotaxie des trièdres.

Comme tout à l'heure, l'égalité des dièdres OA, O'A' entraînera la coïncidence des demi-plans O'A'C", O'A'C, et celle des angles rectilignes AOC, A'O'C entraînera la confusion des arêtes O'C", O'C, seconds côtés de ces angles portés ainsi dans un même demi-plan à partir d'un côté commun O'A'. Nos deux trièdres ont donc été encore complètement superposés.

L'intervention des trièdres supplémentaires (351) ramènerait immédiatement ce théorème au précédent (354i, ou vice versa.

356. Deux trièdres homotaxiques OABC (fig. 82), O'A'B'C sont égaux, quand les trois faces de l'un sont respectivement égales à leurs correspondantes dans l'autre (Cf. 234).

Sur une arête OA du premier trièdre, mais ailleurs qu'au sommet, prenons un point quelconque a d'où nous abaisserons sur les arêtes OB, OC des plans perpendiculaires de pieds b, c, coupant ainsi les dièdres OB, OC suivant leurs angles plans abp, acp, se coupant mutuellement suivant une perpendiculaire de pied p à la face BOC, parce que, perpendiculaires aux deux droites OB, OC de ce plan, ils lui sont tous deux perpendiculaires; et si les faces AOB, AOC sont toutes deux aiguës, ce que nous supposerons pour fixer les idées, les pieds b, c tombent tous deux sur les arêtes OB, OC, elles-mêmes (213).

Dans le second trièdre (bien inutile à dessiner), les faces respectivement égales A'O'B', A'O'C étant aussi aiguës, les mêmes constructions recommencées à partir d'un point a', pris sur son arête O'A', de manière à rendre O'a' ^ Oo, conduiront aux points b', c', p', jouant les mêmes rôles que b, c, p dans le premier.

Maintenant, les triangles Oba, O'b'a' , rectangles en b, b', sont égaux, comme ayant leurs hypoténuses Oa, O'a' égales par construction, et leurs angles aigus AOB, A'O'B' égaux par hypothèse (232); d'où Ob^=.0'b', puis Oc ^ O'c' pour des raisons annlogucs. Comme, d'autre part, on a BOC = B'O'C par hypothèse, le déplacement du premier trièdre, capable d'appliquer les côtés OB, OC de sa face BOC sur O'B', O'C, côtés de In face correspondante et égale B'O'C du second, fera coïncider aussi les points b, c, avec b', c', par suite les droites bp, cp

CAS d'i'x.alité de deux trièdres. 109

perpendiculaires en h, c sur 01?, OC et dans le plan de ces deux arêtes, avec les perpendiculaires correspondantes ////, c'p', l'intersection p des premières avec celle />' des secondes, d'où bp^^b'p' (et aussi cp^zc'p'), enfin pa, per|)endiculairc au plan BOC, avec p'a' perpendiculaire correspondante.

Comme l'égalité des triangles Oba, O'b'a' (et aussi bien Oca, O'c'a') donne encore ba=:b'a' (et pareillement ca=:c'a'), les triangles bpa, b'p'a', par exemple, qui sont rectangles en p, p', sont égaux, parce que leurs hypoténuses ba, b'a' sont égales, ainsi que leurs autres côtés bp, b'p' (Ibid.).

On a donc encore />a i=p'a', et le déplacement imprimé au premier ti-ièdre superposera le point a à a', parce que le segment pet prend la direction même de son égal p'a', ceci à cause de l'homotaxie des deux trièdres. Les deux trièdres sont donc complètement superposés.

Quand les faces supposées aiguës ne le sont pas toutes deux, le raisonnement se fait de la même manière, sauf des circonstances topographiques légèrement dilïerentes que nous devons laisser au lecteur le soin d'examiner.

357. Deux trièdres homotaxiqnes OABC (fig. 82), O'A'B'C sont égaux, quand les trois dièdres de riin le sont respectivement à leurs correspondants dans rautrc.

Par deux jjlans menés parallèlement à deux faces correspondants BOC, B'O'C, cela dans les demi-espaces qui contiennent les arêtes opposées OA, O'A' et à des distances égales des plans des faces considérées, nous couperons ces arêtes en des points a, a' dont les distances ap, a'p' aux mêmes plans seront alors forcément égales. En partant ensuite de ces deux points, nous recommencerons les constructions du n" 356 dont nous noterons les résultats par les mêmes lettres, et en supposant d'abord aigus les dièdres OB, OC du premier trièdre, par suite leurs égaux O'B', O'C dans le second, nous formerons ainsi les triangles apb, a'p'b' rectangles en p, p', de plus égaux parce qu'ils ont égaux leurs côtés pa, p'a' par construction, et leurs angles pba, p'b'a' comme angles plans des deux dièdres OB, O'B' supposés égaux; et, pour des causes semblables, les triangles rectangles du même genre, apc, a'p'c' seront aussi égaux entre eux.

En a, nous élèverons ensuite sur la face AOB du premier trièdre une perpendiculaire qui rencontrera certainement

en ([uelque point ,a, le plan de la i'ace BOC opposée à

l'arête OA, même le demi-plan ÔBC, ceci à cause de l'acuité supposée au dièdre OB ; par suite de quoi, la demi-droite wjest du même côté du plan AOB que le demi-plan OAC. Nous remarquerons en outre, que cette droite au. est située dans le plan du triangle apb, que \t. par suite est sur la droite bp.

170 AXGLES SOLIDES, TRIÈDRES PRINCIPALEMENT.

Car ce plan mené perpendiculairement à l'arête OB est, comme «[x, perpendiculaire sur la face AOB. De même, la perpendiculaire élevée au point a encore, sur l'autre face AOC du dièdre OA, coupera le plan BOG en quelque point v de la droite cp, plaçant la demi-droite av du même côté du plan AOC que le demi-plan OÂB. Il en résulte (198), (190) que l'angle rectiligne j^-av est le supplément de l'angle plan du dièdre OA.

Des constructions toutes semblables exécutées sur le second trièdre conduiront à deux demi-droites issues du point a', coupant b'p', c'p' en des points a', v' donnant un angle rectiligne \>-'a'v', supplémentaire à l'angle plan du dièdre O'A', égal par suite à 'j-Œ', à cause de l'égalité mutuelle supposée aux dièdres OA, O'A'.

Les angles égaux bap, b'a'p' étant aigus, et les angles bœ/., b'a'[f-' étant droits, les angles paa, p'a'i».' sont les compléments des premiers, partant égaux entre eux ; en outre, les points [A, u.' tombent sur les prolongements des demi-droites pb, p'b' . Enfin, les triangles ap'/-, a'p'\j' rectangles en p, p', sont égaux à cause de l'égalité de leurs angles aigus pai^-, p'a'\>.' et de celle de leurs côtés pa, p'a' .

On en conclut aa^^a'u.', p-j. = p'ij.', et on prouvera de même, que V tombe sur le prolongement de la demi-droite pc, en donnant ov = a'v', pMz^p'V.

Les triangles u.a«, [x'a'v' ayant ainsi égaux, non seulement leurs angles en a, a', comme nous l'avons constaté tout à l'heure, mais encore les côtés qui comprennent ces angles, ils sont égaux, d'où [xv^u.'-/, égalité assurant celle des triangles [xpv et {^'p'v', dont les autres côtés pix et />v, p'\>.' et p\' étaient déjà respectivement égaux.

De tout ce qui précède, il résulte que l'on peut déplacer le premier trièdre de manière à appliquer ce triangle (J-pv sur son égal u'p'v', et qu'alors s'appliqueront : les segments pb, pc sur p'b', p'c' , les perpendiculaires bO, cO aux premiers dans leur plan aux perpendiculaires correspondantes b'O', c'O', le point O sur O', la perpendiculaire pa au plan BOC sur la perpendiculaire correspondante p'a', le point a sur a' enfin, ce qui entraîne la complète superposition des trièdres, parce que ceux-ci étant homotaxiques, le segment pa, égal à p'a' par construction, se place précisément dans la direction de ce dernier.

L'observation finale du numéro précédent est applicable au cas où les trièdres considérés ont quelques angles non aigus.

La marche suivie dans la démonstration de ces deux théorèmes conduirait bien facilement à la construction sur une simple épure, soit des angles plans des dièdres d'un trièdre dont les faces sont connues, soit de ses faces quand, au

ÉGALITÛ INVKUSF-: DE OECX TUIKDUES. 171

contraire, ce sont ces angles plans qui sont connus, et encore à (les constructions du niènie genre sur d'autres données; tout ceci n'exige, en eiret, que le tracé de certains triangles rectangles dont deux éléments sont toujours connus (235j.

Remarquons encore qu'au moyen des tricdres supplémentaires (351), on pourrait, sur le champ, déduire l'un de l'autre, ce théorème ou le précédent (356), à volonté.

358. Même en cas d'anlilaxie, chacune des isoméries partielles considérées aux n"' 354, 355, 356, 357 entraîne l'isomérie complète des deux trièdres.

I. Quand deux trièdres antitaxiques OABC, O'A'B'C sont isomères, chacun d'eux est écjal à l'opposé au somnwt de l'antre.

Car OA,BiC,, opposé au sommet de OABC, lui est isomère (339, III) et antitaxique (349, III); il est donc isomère aussi, mais homotaxique à O'A'B'C supposé isomère et antitaxique à OABC (348, II), (354 ou suiv.).

II. Si l'isomérie partielle des trièdres considérés OABC, O'A'B'C est celle du n" 354, OA,B,C,, opposé au sommet, partant isomère au premier, et O'X'B'C ont des faces égales adjacentes à des angles respectivement égaux. Ces derniers sont donc égaux (Ibid.), puisqu'il y a liomotaxie entre eux, et OABC, O'A'B'C sont isomères entre eux comme l'étant tous deux à OA,B,C,. Même raisonnement dans les trois autres cas.

Ainsi se trouve justifiée l'affirmation générale du n" 353.

Il nous sera commode d'appeler égalité inverse, l'isomérie antitaxique de deux trièdres, et encore, par opposition, de dire directe leur véritable égalité équivalente à leur isomérie homotaxique. (Cf. 372, 373, inf.)

359. Quand deux angles d'un trièdre sont égaux, les faces opposées sont égales aussi, et réciproquement. En outre, le plan bissecteur du troisième angle (278) est perpendiculaire sur le plan de la face opposée, et g trace la bissectrice de cette face (jOf. 237, 238).

Soient OABC le trièdre considéré et OA,B,C, son opposé au sommet, qui lui est isomère (339, III), mais antitaxique (349, III).

I. Si les dièdres OB, OC sont égaux, on aura indistinctement OB=:OC = OB, — OC,, et, écrits OABC, OA,C,B, ce qui les rend homotaxiques (348, III, II), nos trièdres sont égaux comme ayant BOC = C,OB„ OB^OC,, OCz^OB, (354). On a donc en particulier AOC = A,OBj = AOB, à cause de l'isomérie des mêmes trièdres écrits OABC, OA,B,C,.

II. La réciproque se déduit de la même manière, du théorème du no 355.

III. La dernière partie de notre théorème s'établit en considé-

rant les bissectrices opposées OD, OD, des faces BOC, B,OC, opposées par le sommet, et en raisonnant comme au n^ 238. Un tel trièdre est dit isoscèle.

360. Quand deux trièdres isomères sont isoscèles, ils sont égaux tant directement qu'inversement (358) ; réciproquement, ils sont isoscèles, si, égaux d'une manière, ils le deviennent de l'autre par une transposition opérée dans les notations des arêtes de l'un d'eux.

I. Si, dans les trièdres isomères OABC, O'A'B'C, les dièdres OB, OC, O'B', O'C sont tous égaux entre eux [ainsi qu'entre elles, les quatre faces opposées dans l'un et dans l'autre (359 1], et si, notés ainsi, il y a, par exemple, homotaxie entre eux, leur égalité directe a lieu de cette manière. Mais notés OABC, O'A'C'B', ils sont inversement égaux, parce qu'ils sont antitaxiques, tout en étant encore isomères à cause de 0A^= O'A', OB = OC=0'C', OC-OB = 0'B'.

II. Si le trièdre OABC est égal à O'A'B'C directement et à O'A'C'B' inversement, tous trois sont deux à deux isomères. On a donc en particulier OB = O'B' = O'C — OC.

361. L'impossibilité de superposer par glissement, quoic[ue égaux, deux segments antitaxiques sur une même droite (132), est levée par l'extension de leur liberté de se mouvoir, même à la simple étendue d'un plan mené par cette droite. Celle qui frappe deux figures isomères en antitaxie dans un même plan (219) est supprimée encore par l'ouverture de l'espace entier à leurs déplacements (Cf. 415, inf.). Mais au delà de l'espace, aucun domaine n'existe plus pour les corps matériels ; c'est la cause du caractère absolu sous lequel la même impossibilité se présente en cas d'antitaxie, pour des trièdres (et autres figures non planes) pourtant isomères.

Mesure de ramplitude d'un angle solide (déchevêtré).

362. La principale proposition de ce paragraphe repose sur un Icmme que nous devons établir auparavant.

Deux trièdres opposés au sommet sont équivalents.

I. Etant donnés deux trièdres opposés au sommet OABC, OA,B,C, (fig. 83), trois plans élevés perpendiculairement aux faces de l'un par leurs bissectrices intérieures (aux faces de l'autre, tout aussi bien) concourent en deux demi-droites opposées Ov, Of,, dont chacune fait des angles égaux avec les trois arêtes de l'un de ces trièdres, indistinctement.

Car, en appelant Ov une des demi-droites opposées, suivant lesquelles se coupent ceux de ces plans qui sont perpendicu-

MESURE DE L'aMPLITUDE D'UN ANGLE SOLIDE. 173

laires aux faces AOB, AOC, on a AO;; = BOy, parce qu'elle est sui- le premier (271) el AOc =: COp, parce qu'elle est aussi sur le second; on en conclut L50y^= COy, égalité montrant en outre, que Ou se trouve aussi sur le plan conduit perpendicidairement à la troisième face BOC par sa bissectrice intérieure (IbicL).

La droite yOy, est l'axe du cône de réuolution [Chap. XXII, iiif.] qui est circonscrit aux deux trièdres OABC, OA,B|C, simultanément {Cf. 508, in/.).

II. L'une de ces demi-droiles est intérieure à un angle au moins de run des trièdres considérés.

Une de ces demi-droites. Ou pour fixer les idées, ne peut se confondre avec aucune arèle OA du triédre OABC par exemple, ni avec son prolongement OA,, puisqu'alors elle ferait avec OA un angle nul ou neutre, inégal par suite, aux angles uOB, fOC égaux alors à AOB, AOC qui sont essentiellement saillants (337, I).

Si, en second lieu, elle se trouve dans le plan d'une face BOC, ce ne peut être qu'en sa bissectrice intérieure, cas où elle est intérieure au dièdre OA, ou en prolongement de cette bissectrice, cas auquel c'est son opposée Oy, qui est intérieure au même dièdre.

En dehors des particularités de ce genre, où le point en vue est établi, nous dirons un instant que le caractère de Ou relatiuement à une face du Irièdre OABC est positif ou négatif, selon que cette demi-droite et l'arête opposée à cette face tombent ou non d'un même côté de cette dernière. Cela posé, si deux de ces trois caractères de Ou sont positifs, elle est intérieure au dièdre compris entre les faces qui ont fourni ces caractères (192); si deux sont négatifs, ceux de son opposée Oj^, sont évidemment positifs, et c'est alors cette dernière qui est intérieure au dièdre susdit.

III. Pour fixer les idées, supposons Ou intérieure à l'angle A du premier triédre, et considérons les trois trièdres Of BC, Ot'AB, OyAC dont la somme (géométrique) des derniers, augmentée ou diminuée du premier selon que Ou est intérieure ou extérieure à OABC, reproduit alors ce triédre. Comme tous sont isoscèles (I), (359), ils sont respectivement égaux à leurs opposés aux sommets Oy,B,Ci, Ot',A,B,, Oy,A|C, (3o0) qui, combinés de la même manière par additions, avec soustraction éventuellement, reproduisent le triédre OA|B|Cp

En résumé, et en représentant généralement par [OABCJ l'amplitude du triédre OABC, on a

[OuAB] -\- [OuAC] ± [OyBC] = [OABC], [Of;,A,B,] + [Ou.Afi,] ± [Ou^Bfi,] = [OA.B.CJ,

où, avant les derniers termes des premiers membres, il faut

prendre simultanément, soit les signes supérieurs, soit les inférieurs. On a en outre

Ot^BG = OyiBiCj, OyAB = O^iAiBi, OuAG = OyiAiCj ;

on a donc bien

(1) [OABC] = [OA,B,C,] (1).

363. En représentant par [3)b], [A], [B], [G], comme au no 340, II, les amplitudes radiantes du dièdre neutre Ob et de ceux A, B, G, d'un trièdre quelconque OABG, l'amplitude de ce dernier est donnée par la formule

[Al + [B] + [G] — [X]

(2) [OABG] = ^ ^^^ ^^^ ^ ^—^ {Cf. loc. cit.).

Si, membre à membre, on retranche la seconde égalité du groupe (3) du numéro cité, du résultat de l'addition des extrêmes, il reste

[OABG] + [OAiB,GJ = [A] + [C] - [OL - B]

= [A] + [C]-[^rb] + [B], d'où (362)

2 [OABG] = [A] + [B] + [G] - [DL] ,

c'est-à-dire l'équivalent de la formule (2) en question.

364. La décomposition d'un angle solide déchevêtré quelconque en trièdres (337, III) conduit immédiatement à l'expression de son amplitude au mojen de celles de ses angles. Par exemple, en le supposant convexe, avec n angles (et autant de faces), le nombre de ses trièdres élémentaires peut évidemment être réduit an — 2. Si donc on nomme S la somme des dièdres de l'angle solide considéré, celle des amplitudes de ces trièdres est évidemment

expression qui s'étendrait facilement, quoique au prix de quelques longueurs, au cas de non convexité.

(1) On pourrait établir encore cette égalité, en prouvant que l'amplitude de chaque trièdre est la limite de la somme de celles de trièdres inscrits en lui [à peu près comme, dans des triangles ou des tétraèdres, les parallélogrammes ou prismes considérés au n° 303 ou 376 (inf.)], en outre tous isoscèles, égaux par suite à leurs opposés au sommet, dont la somme des amplitutles tend simultanément vers celle de l'autre trièdre ; et cette marche serait beaucoup plus intuitive et directe à la fois, car l'introduction de la droite auxiliaire vOv^ est un pur artifice. Mais certains esprits pourraient se récrier contre cette tournure du raisonnement.

PLAQUES BKISÉES. 175