FIGURES POLYÉDRIQUES EN GÉNÉRAL. — VOLUMES POLYÉDRIQUES

Généralités sur les polyèdres.

365. Parmi les surfaces brisées (319), et après celles dont nous nous sommes occupés dans les deux Chapitres précédents, une classe immense et très remanjuable est constituée par les plaques ou toits brisés, dont toutes les faces sont des polygones plans. Le bord d'une telle surface est un polygone, gauche habituellement, et, quand elle possède quelque sommet non situé sur son bord, les angles plans appartenant aux diverses faces dont les sommets se confondent en ce point, sont les faces d'un angle solide de la plaque (336) ; les côtés des faces sont ses arêtes, ou côtés encore.

Quand les faces d'une plaque brisée sont toutes déchevêtrées, elles ont des intérieurs dont l'ensemble constitue Vintérieiir (superficiel) de la plaque; elles ont des aires, par suite, dont la somme est l'aire de la plaque, dite, dans les arts, son développement.

Mais, même ouverte (368, inf.), quand elle offre quelque angle solide convexe, la liberté donnée à ses faces de tourner autour des arêtes les séparant de leurs contigués, ne suffît pas pour rendre possible son application sur un plan, sans rupture, ni duplicature (344).

366. En s'appuyant sur le théorème du «« 333, et raisonnant exactement comme aux n^s 286, 287, on arrivera sans peine, pour des plaques brisées à faces déchevêtrées, à ces deux propositions toutes semblables.

Quand une plaque brisée ne dégénère pas en un polygone plan parallèle ti un plan donné, son aire surpasse toujours celle de sa projection orthogonale sur ce plan.

Un polygone plan (déchevêtré) est de nwindre aire parmi toutes les plaques brisées qui ont son périmètre pour' bord.

367. Si, dans la définition du n° 206, on remplace la ligne brisée et ses côtés par une plaque brisée et ses faces supposées toutes déchevêtrées, on obtient celle d'une pareille plaque, soit

enchevêtrée, soit déchevèlrée. Les angles solides d'une plaque déchevêtrée le sont tous forcément aussi (335).

368. Une plaque brisée est ouverte, quand elle a un bord véritable, c'est-à-dire ne se réduisant pas à un simple point ; elle est fermée, quand les sommets de son bord coïncident tous, en d'autres termes, quand une quelconque de ses faces se soude à quelque autre par chacun de ses côtés. Elle constitue alors un polyèdre, ou plutôt la périphérie d'un polyèdre {Cf. 208).

Parmi les poh'èdres, on distingue en particulier les tétraèdres, pentaèdres, hexaèdres, . . . , octaèdres, . . . , dodécaèdres, . . . , icosaèdres, . . ., pourvus respectivement de 4, 5, 6, . . . , 8, . . . , 12, . . . , 20, ... faces.

369. Le plus simple des polyèdres déchevêtrés (367), (368), le plus intéressant aussi, car il joue dans l'espace un rôle tout semblable à celui du triangle dans le plan, est celui qui a pour sommets 4 points non situés dans un même plan A, B, C. D {fig. 84), et dont les faces sont les 4 triangles ayant chacun pour sommets l'une ou l'autre des associations 3 à 3 que ces 4 points peuvent fournir.

Le polyèdre ainsi obtenu est donc un tétraèdre ou pyramide triangulaire (386, inf), et cette dénomination suffit pour le caractériser, car, à l'inverse, on aperçoit immédiatement que tout tétraèdre déchevètré ne peut être que d'une telle nature. Un sommet et la face qui ne le contient pas sont dits opposés; Ex. : A et BCD.

Les arêtes se confondent avec les segments rectilignes ayant pour extrémités les diverses paires de sommets, et tout aussi bien avec les côtés des faces; il y en a 6, parce que 4 objets s'apparient de 6 manières. Une arête et celle qui ne contient pas ses extrémités, comme AB et CD, sont dites opposées.

Les angles sont les 6 dièdres évidemment saillants dont chacun a pour arête quelque côté prolongé du tétraèdre, pour faces les demi-plans allant de cette arête aux extrémités du côté opposé, et dont l'intérieur contient celui de ce segment.

Les angles solides sont les 4 trièdres convexes (337), dont chacun a pour arêtes trois arêtes du tétraèdre, rayonnant de quelque même sommet. Ces divers trièdres ont ainsi pour faces les angles des faces du tétraèdre et pour angles (dièdres) les angles mêmes que nous venons de définir.

D'après cela, l'intérieur de chacun de ces trièdres comprend celui de la face du tétraèdre qui est opposé à son sommet.

Nous ne considérerons que des tétraèdres déchevêtrés.

370. Sur le régime de la correspondcmce établie entre les éléments de deux tétraèdres déchevêtrés, par les notations AiB,C,Di, A-^B^C^Dj, les relations topographiques entre les trièdres

PRINCIPAUX CAS i;'i';(;alitk dk divUX Ti':TKAi.i)r.i:s. 177

Â,I3,C|D,, B,A,C|D,, ... de l'un et ceux homnlo(/ucs de l'autre Âoll,C.,I).„ I5.,A.,C..,I).^, ..., rcspecUueincnl, sont loujunrs identitjucs (348)^ (Cf. 217)'

Diins un niènic tétraèdre ABCD, deux trièdres quelcon(|ucs dont deux arêtes correspondantes s'opi)osent sur un même côté, où dans chaque paire des autres elles aboutissent à un même sommet, ABCD, BACD par exemple, sont toujours antitaxiques. Leurs faces BAC, ABC sont elFectivement antitaxiques dans le plan du triangle ABC (178, IV), d'un même C(Mé duquel se trouvent j)ourtant leurs arêtes opposées Al), BD (348, V).

En casTlonc d'homotaxie entre les trièdres A,B,C,D,, A.2BoC.,D2, il y aura liomotaxie aussi entre B,A,C,D,, B.jA.iC^Do, leurs antitaxiques comme nous venons de le voir ilbid., II); et de même, pour toute autre paire de trièdres homologues; de même encore en cas d'antitaxie.

Comme pour deux triangles dans un même plan, nous dirons que ces tétraèdres sont honiotaxiques ou antitaxiques, selon que la première l'clation ou la seconde a lieu entre deux quelconques de leurs trièdres liomologues.

I. Des perinulations de deux lettres dans la notation d'un seul de ces tétraèdres, cliangeid leur relation ou non, selon qu'elles sont en nombre impair ou pair.

Car la substitution de B,A,C,D, à A,B,C,D, par la seule permutation des lettres A,, B^ , change la relation des deux trièdres homologues C,A,B,D,, C^A-^B-^Dj dont les sommets sont notés par des lettres non permutées (Ibid., III).

II. En particulier, la relation n'est modifiée ni par une permutation circulaire de trois lettres, puisqu'elle équivaut à deux permutations de deux lettres, ni par le changement de AiB,CiD, en D,C,B,A,, puisqu'il s'opère par deux permutations de deux lettres, savoir de A, avec D, et de B, avec C;.

III. En mettant en homotaxie sur un même plan (217), des faces homologues de deux tétraèdres honiotaxiques, les sommets opposés se placent d'un même côté de ce plan.

Etc.

371. A moins d'être homotaxiques, deux tétraèdres ne peuvent être égaux (sous le régime de la correspondance établie entre leurs sommets par leurs notations) ; mais quand cette condition topographique est remplie, leur égalité est entraînée, comme pour les triangles, par celle d'une partie seulement de leurs éléments. Deux tétraèdres homotaxiques sont égaux par exemple, quand ils ont :

I. Deux faces égales, adjacentes chacune à trois dièdres égaux respectivement, car la superposition des faces égales entraîne celle des demi-plans des faces adjacentes, comme secondes faces de dièdres égaux portés dans un même demi-espace, à

partir de mêmes demi-plans (empruntés tous trois au plan des faces superposées) ;

IL Deux trièdres isomères et des côtés respectivement égaux sur les arêtes de ceux-ci, car l'homotaxic de ces trièdres permet leur superposition (353 et suiv.), entraînant celle des autres sommets du tétraèdre à cause de l'égalité des côtés de celui-ci existant sur leurs arêtes homologues ;

III. Deux dièdres égaux AiB, et A.2B2 compris entre des faces A,B,C,, AiBjD, et A.,B.,C.2, A2B.2D., respectivement égales, car les trièdres À,B,C,D,, A.,B.3C.2D2 sont égaux comme étant homotaxiques avec égalité de leurs dièdres CiAiBiD,,^.i.\2B.2Di, de leurs faces B,A,C,, B,.\X.,, de leurs autres faces BiA,Di, B.,A.,D.^ (355), et l'on est ramené au cas précédent (II) ;

IV. Deux arêtes égales A,B,, A.^B^, adjacentes aux faces égales A,C,D,, A-^CoDo, et aux autres faces encore égales BiC,Di, B^C^Dj, car les triangles A,B,C,, A.2B.^G2 sont égaux à cause de l'égalité de leurs côtés (234), les faces A,B,D,, A.^B.iD., le sont aussi pour la même cause, et l'intervention du théorème du n" 356 ramène encore au cas II ;

V. Toutes leurs arêtes respectivement égales, car ces égalités entraînent celles de leurs faces (234), en particulier celles des angles de ces faces, puis (356) celle des trièdres de deux tétraèdres, et l'on retombe sur le premier venu des cas précédents.

Etc.

372. Quand il y a antitaxie entre ces tétraèdres, chacune des isomérics partielles supposées successivement ci-dessus (371, I, II, etc.) entraine, non leur égalité, c'est impossible, mais leur isomérie complète.

En portant effectivement les longueurs A,/2i = A,B, , A,Yi =; A,Ci, AjOi ^= AjD, sur les demi-droites opposées aux arêtes A,B,, A, G,, AJ)i du premier tétraè(h-e, on obtient les sommets d'un autre A,,3,YiSi, qui lui est isomère, ce que l'on constatera sans difficulté, mais antitaxique, parce que son trjjèdre À,/3,yjOi est tel relativement à son opposé au sommet AjBjCjDj qui appartient au premier (349, III).

Outre l'une des isoméries partielles en question, il y a donc homotaxie, égalité par suite, entre A,,î,YjO, et A^B.^C^D.^ ; donc encore, il y a isomérie complète entre A.,B2C2D.j et A,B,C,D,, isomère à son égal A,;î,y,o,.

Comme pour les trièdres (358), nous dirons inversement égaux deux tétraèdres isomères, mais antitaxiques, et quelquefois directement égaux, ceux, alors égaux à proprement parler, dont l'isomérie est accompagnée d'homotaxie.

373. Deux figures quelconques dont les points se correspondent deux à deux, sont homotaxiques ou antitaxiques, quand,

ÉGALITÉ, ETC. DE DliUX FKlLUIiS DANS I.'lCSPACE. 179

soit l'une (le ces relations, soit l'autre, existe pour toutes les paires de leurs tétraèdres homolo,t<ues (Cf. 218).

A ce sujet et à celui de l'isoniérie, voici plusieurs propositions d'ailleurs très simples.

I. L'égalité des deux figures est assurée par celle seulement de leurs tétraèdres ^^B^C^yl^, A,B,C,]Vr,, ..., et A.B^C.M,, A,B.,aM'2, ..., de mêmes faces Iioniologues déchevêtrées A,B,C,, A.iB.,C.,.

A cause de leur égalité, les tétraèdres A,B,C,M,, A^B^CoM.j se superposent eflectivement par la simple application de leurs faces égales A,B,C,, AoB.,Co (34); M, s'applique donc sur M.^, et pareillement M',, M",, ..., sur M'o, M".,, ...

II. Quand deux figures quelconques sont isomères, elles sont forcément, soit homotaxiques et alors égales, soit antitaxi(jues.

Nous considérerons dans la première figure un tétraèdre déchevêtré A,B,C,D,, son homologue A.,B.,C.,D^ déchevêtré évidemment aussi, et deux points homologues quelconques M,, M.^ distincts de leurs sommets.

Si ces tétraèdres sont homotaxiques, ils sont égaux (371) et peuvent être superposés en aîvo ; soient alors y.,, [Xj les positions prises simultanément par M,, M.2. Comme l'isoniérie supposée donne auj z= A, M, =: A.,Mo = a;/2 et de même ,?y., =i îy..,, T!*i==Y!^2' 5:j., = 0U..2, les points a, /3, y, 5, si u.,, [x., étaient distincts, seraient sur un même plan, savoir celui qui est perpendiculaire sur le segment u.,[ji., en son milieu (253). Cette disposition étant rendue impossible par le déchevètrement du tétraèdre a.'Syo égal à chacun des deux autres, tx^ et u.^ se confondent ; en d'autres termes. M,, M^ s'appliquent l'un sur l'autre ; il en est de même pour toute autre paire de points homologues, et nos figures sont égales.

Quand c'est l'antitaxie qui existe entre les tétraèdres considérés, elle s'étend aussi aux figures entières, mais il sera plus expéditif d'en ajourner la démonstration au no 407 (inf).

Nous élargirons une dernière fois le sens des dénominations expliquées aux n°s 358 et 372, en appliquant le mot d'égalité inverse au cas de deux figures isomères et antitaxiques, et en employant quelquefois celui de directe pour leur égahté proprement dite, équivalente à leur isomérie homotaxique.

Deux figures sont égales directement ou inversement, quand, à une mcnjc autre, elles le sont toutes deux de manières identiques ou différentes, car elles sont toujours isomères, avec homotaxie ou antitaxie évidentes.

III. La seule égalité de tous les segments homologues dans deux figures, entraine leur isomérie complète et, par suite (II), leur égalité, soit directe, soit inverse.

Car, assurant l'égalité de tous les triangles homologues (234), des angles de ces triangles en particulier, elle assure aussi l'isomérie de tous les trièdres homologues (358), de leurs

dièdres en particulier, et, par suite, l'isomérie complète des figures considérées (II).

IV. Quand deux figures planes (ou rectilignes) sont isomères, même seulement quand leurs segments homologues sont respectivement égaux, elles sont toujours superposables.

Pour s'en assurer, il suffit d'imiter les raisonnements ci-dessus (II), (III), après avoir observé que l'isomérie de deux triangles homologues déchevêtrés entraîne la possibilité de superposer eux-mêmes et les plans des deux figures, simultanément.

Comparaison des volumes de deux tétraèdres.

374. Un point est intérieur à un tétraèdre, quand il est intérieur à la fois à ses 4 trièdres (337, II) (à ses 6 angles dièdres tout aussi bien, car c'est la même chose), et même quand il est sur sa périphérie. Tels sont évidemment les points intérieurs tant à un segment qu'à un triangle, dont, soit les extrémités, soit le périmètre, sont situés sur la périphérie. La figure formée par les points intérieurs au tétraèdre, qui est visiblement limitée (289) et continue (290), est Yintérieur, ou le volume du tétraèdre ; le surplus de l'espace, encore continu, mais illimité, est son extérieur.

Deux tétraèdres sont juxtaposés, quand une face de l'un et une face de l'autre sont dans un même plan, les aires de celles-ci aj'ant quelque partie commune ; et la juxtaposition est extérieure ou intérieure, selon que tous les points de chaque volume (autres que ceux de la soudure) sont extérieurs à l'autre, ou bien que ceci n'a pas lieu.

375. Vn polyèdre déchevétré quelconque étant donné (368), on peut construire des tétraèdres dont chacun soit juxtaposé à quelque autre, tels, en outre, que tout point intérieur à l'an, soit extérieur à tous les autres, et que l'ensemble des parties de leurs périphéries qui ne sont pas communes à deux d'entre eux, reproduisent la périphérie de ce polyèdre.

Nous supprimons la démonstration de cette proposition, laissant même au lecteur le soin de la faire sur le modèle de celle du no 294, pour un poljèdre convexe, c'est-à-dire dont tous les sommets autres que ceux appartenant à une même face quelconque, tombent d'un même côté du plan de cette face.

Cela posé, l'intérieur ou volume du polyèdre considéré comprend tous les points de l'espace qui sont intérieurs à quelqu'un de ces tétraèdres ; le surplus de l'espace est son extérieur, et on peut prouver que la distinction faite ainsi entre les points de l'une et de l'autre régions est indépendante du mode de construction des tétraèdres dont la considération l'a fournie.