COMPARAISON DES VOLUMES DE DEUX TÉTRAÈDRES

Après quoi, s'étendent immédiatement aux volumes des polyèdres, à leurs angles intérieurs, dièdres ou solides, ..., au rapport de deux volumes, ..., toutes les définitions et axiomes que nous avons donnés pour les pohgones plans aux n'^ 296 et siiiu. (mais non les propositions concernant les sommes des angles d'un polygone).

376. Le terrain est assez déblayé actuellement, pour fournir l'assiette nécessaire aux propositions qui font l'objet spécial de ce paragraphe. Voici la première.

Quand deux tétraèdres ont une arête commune et leurs arêtes opposées à celle-ci placées sur une même droite, le rapport de leur volume esl égal à celui de ces dernières arêtes {Cf. 303).

I. En coupant une même moulure (321) déchevètrée fixe SU- (fig. 85), par des paires A,, 95 et ©, CO et ... de plans tous parallèles à un plan fixe K non parallèle aux arêtes de la moulure, on obtient chaque fois, en a, a', a", a'", b, b' , b", b'" par exemple, les sommets d'un polyèdre évidemment déchevêtré, dont nous nommcions temporairement cote, le côté ab placé sur l'une des arêtes de la moulure (côté égal à celui que la même paire de plans al,, 93 découpe sur les autres arêtes de la même surface). Ces polyèdres appartiennent à la famille des prismes (382, inf.), et, en raisonnant exactement comme au n° 303, 1, on prouvera que (pour une même moulure et un même plan directeur J6) le rapport de deux prismes de ce genre est égal à celui de leurs cotes.

II. Etant donnés un plan et une droite fixes non parallèles %,Y ifig. 8Q), puis un triangle mnp dont le plan n'est parallèle ni à l'un ni à l'autre, nous représenterons par [mnp] le plus grand des prismes mm'm"n"nn', ... qui sont découpés dans la moulure de direction Y et de section plane mnp, par les trois paires de plans issus des points m, n, p parallèlement à %.

Cela posé, si l'on divise progressivement en parties triangulaires à côtés tous infiniment petits ..., mnp, ..., un triangle fxe ABC dont le plan n'est parallèle ni à %, ni à Y, la somme :£, [mnp] des volumes des prismes ..., [mnp], ..., construits sur ces triangles est aussi une quantité infiniment petite. (V. p. 134, en note.)

A plus forte raison, on trouverait une sonmie encore infiniment petite, en prenant seulement une partie des polyèdres .... mnj)mm'm", mnpiï'nn', ... [chacun est un tronc de prisme triangulaire dont une arête latérale est nulle (381, inf.)], en lesquels le plan ABC divise chacun des prismes ci-dessus (Cf. 303. II).

III. Soient actuellement OIPQ, OIBS \fig. 87), les télraè(h-es proposés, ayant l'arête conmiune 01 et leurs opposées PQ, RS placées sur une même droite Y.

Sur toute parallèle à cette droite, les dièdres en 01 de nos tétraèdres découpent des segments pq, rs dont le rapport est égal à celui de leurs arêtes PQ, RS.

La démonstration est identique à celle du n" 303, III, à cela près qu'elle doit être appuyée sur l'alinéa I du n» 275.

IV. Simultanément ensuite, et par des moulures triangulaires parallèles à la droite Y {fig. 88), décomposons nos deux tétraèdres en troncs de prismes triangulaires (381, inf.) correspondants, analogues à celui que nous avons figuré en PiP2P3?i7-273 pour le premier tétraèdre; puis, à chaque paire de ces troncs, substituons la paire des prismes correspondants PiP'iP's^iÇ'aî's» ^i^^'a^'s^i^'a^'s qui s'obtiennent en coupant une moulure analogue à celle de notre figure, par des plans que l'on mènera parallèlement à quelque même plan fixe % (non parallèle à la droite Y) par les quatre traces p,, g,, r^, s^ des faces de nos tétraèdres sur une même arête de la moulure.

Le rapport des volumes de deux prismes correspondants est égal à PQ : RS. Car ces volumes ayant été découpés dans une même moulure par deux paires de plans tous parallèles, leur rapport est égal à /;,Çi : r,Si, rapport de leurs cotes (I), lequel est invariablement égal à PQ : RS (III).

V. Si l'on nomme A' la somme des volumes des prismes substitués aux troncs en lesquels le tétraèdre OIPQ a été décomposé, et B' celle des prismes analogues pour l'autre tétraèdre OIRS,o/i aura