FIGURES SOLIDES ÉGALES, FIGURES VARIABLES

première de manière à superposer simultanément ses éléments (quelconques) A, B, C avec A', B', G' respectivement.

7. A la fusion de deux fijfurcs solides égales en une seule, opérée par voie de superposition, correspond inversement le dédoublement mental d'une seule figure en deux (ou plusieurs) autres confondues, mais séparables par déplacement. Celte opération se présente très souvent ; clic est matérialisée dans les deux expériences citées au n" 5.

8. Deux figures, dont chacune est égale à une même troisième, sont égales entre elles. Telles sont, par exemple, la surface (10, //(/'.) d'un modèle et celle d'un objet de métal fusible coulé d'après lui, leur égalité étant assurée par ce fait que toutes deux ont été successivement en coïncidence avec la surface (utile) du moule que le modèle a permis d'établir et d'où sa reproduction est sortie.

Il faut remarquer l'égalité deux à deux de toutes les positions (2) occupées successivement par une même figure solide que l'on déplace, cbacune de ces sortes d'empreintes laissées idéalement dans l'espace par la figure considérée ayant forcément coïncidé un instant avec celle-ci. La conception de pareilles empreintes aide à celle de plusieurs figures solides égales deux à deux, quoique placées autrement qu'en coïncidence. On en trouve une matérialisation optique fort exacte et bien facile à réaliser^ dans la vision d'un objet mis en mouvement dans l'obscurité, mais éclairé par une succession peu rapide d'étincelles électriques.

9. On a aussi, mais bien moins fréquemment, à considérer des figures variables, c'est-à-dire conservant chacune une certaine personnalité plus ou moins facilement reconnaissable, mais non cette individualité géométrique strictement déterminée qui caractérise chaque figure solide. Une masse de terre à potier s'afi"aissant sous son poids, un ressort que l'on plie, un fil, une étoffe, un arbre, agités par un vent faible..., donnent une première idée des figures de ce genre, que plusieurs questions nous conduiront à regarder de plus près. (Chap. XIII, iiif.)

Dans l'étude d'une pareille figure, il y a toujours à faire intervenir des figures solides [segments rectilignes (Chap. IV, inf.), angles (Chap. V, inf.),...], souvent en particulier celles avec lesquelles on peut concevoir qu'elle coïnciderait si, à des moments donnés, elle venait à se solidifier, à se figer en quelque sorte, dans divers états successifs. Pour cette raison, leur théorie est dominée de très haut par celle des figures solides, et, à cause du caractère absolument fondamental de ces dernières, on se contente le plus ordinairement du simple mot figure pour les désigner.

6 PHEMIEUES NOTIONS.

10. Les figures solides les plus simples sont les points, les lignes et les surfaces (0, éléments essentiels de toutes les autres et dont, par suite, la considération s'impose perpétuellement.

Un point correspond à l'idée abstraite que nous nous faisons d'un corps extrêmement petit dont nous ne considérons que la position dans l'espace, d'une région extrêmement peu étendue, mais nettement déterminée d'un corps quelconque : tels sont un grain de farine ou d'une autre poudre impalpable, une étoile, la marque la plus menue d'une plume, d'un crayon, d'un bâton de craie très aigus, une légère piqûre d'une aiguille très fine, la pointe même de cette aiguille, etc.

L'idée de ligne nous vient des corps très allongés mais extrêmement déliés autrement, comme un fil jeté par une araignée entre deux arbres, la trace lumineuse apparente d'un point brillant animé d'une très grande vitesse, celle laissée sur un corps solide par le frottement léger d'un morceau de craie très pointu, d'un pinceau très ténu chargé de couleur, etc.

Des corps extrêmement réduits en épaisseur tels qu'un vase de fer-blanc, l'enveloppe d'une bulle de savon, une pièce de gaze déployée, une très légère couche de couleur appliquée sur un corps solide..., nous donnent l'idée de surface ; nous la retrouvons encore dans l'enveloppe que nous imaginons séparer la matière d'un corps solide de celle du milieu (gazeux, liquide, même solide) dont ce corps est entouré.

Ce sont là de simples images des lignes et des surfaces, données provisoirement et incapables de prêter la moindre assiette au raisonnement ; pour cela, il faut des propriétés précises, définissant chacune d'elles avec l'exactitude mathématique.

11. Une marque laissée parle contact d'une pointe colorante sur un corps que nous assimilons à une ligne, à une surface, nous donne l'idée d'un point situé sur, ou bien appartenant à une ligne, à une surface. On dit aussi que la ligne, la surface, contiennent le point considéré, qu'elles passent par lui.

Et semblablement, pour la marque tracée par la même pointe, maintenant traînée, sur un corps assimilé à une surface : on a ainsi une ligne située sur ou tracée sur, ou bien encore appartenant à la surface ; de son côté, cette dernière est dite contenir ou bien passer par la ligne en question.

12. Une figure se présente le plus souvent comme un assemblage de quelques points, lignes, surfaces, solidarisés par la

(1) Au fond, toutes les notions concernant les figures courbes (Chap. XIII, inf.) dérivent de la seule théorie des droites et plans (n^^ 16 et suiiK, inf.) ; c'est ce que montre fort explicitement la marche des idées en Géométrie analytique.

POINTS, LIGNIiS, SURFACES, KN GtNliUAL. 7

pensée en nombre limité, ou même illimité, et les explications précédentes montrent le sens à attacher aux mots point, ligne, surface appartenant à une figure donnée, ou bien n'appartenant pas, étrangers à cette figure.

Dans le langage, on distingue et on nonmic des points isolés par autant de lettres dillérentes affectées à la désignation des uns et des autres ; on désigne toute autre figure par des lettres données ainsi comme noms à des points choisis sur elle, en positions et en nombre voulus pour la clarté.

Les axiomes suivants (iomincnt toutes les spéculations géométriques.

Sont en nombres illimités : 1^ les points distincts, lignes, surfaces distinctes, qui, dans l'espace, n'appartiennent pas à une figure donnée, quelle que soit celle-ci (sauf le cas où il s'agirait de la totalité de l'espace, si l'on voulait aller jusqu'à la considérer comme une figure) ; 2" les points différents qui appartiennent à une figure si quelque ligne en fait partie, et les lignes différentes de cette figure, si quelque surface se trouve parmi ses éléments.

13. Quand un même point appartient à plusieurs lignes (non identiques), on dit qu'elles s'y coupent, et on le nomme un point d'intersection ou de concours de ces lignes, très souvent encore une trace de l'une sur l'autre ; par exemple (fig. 1), m est un point d'intersection des deux lignes ABC, DEF, et le point n est une autre trace de l'une d'elles sur l'autre.

Mêmes dénominations pour un point situé à la fois, soit sur une ligne et sur une surface (ne contenant pas la ligne), soit aussi bien sur plusieurs surfaces (non identiques). De même encore, pour une ligne située à la fois sur plusieurs surfaces (non identiques). La ligne, intersection de deux surfaces, se nomme tout aussi bien la section de l'une de ces surfaces par l'autre.

On emploie plus volontiers le mot concours quand il s"agit de plus de deux lignes ou surfaces passant par un même point, de plus de deux surfaces passant par une même ligne : les trois lignes AmB, CmD, EmF(fig. 2), concourrent au point m.

Dans certains cas fort remarquables, dont aucun toutefois ne se présentera à nous avant le Chapitre XllI (inf.), des lignes ou surfaces peuvent passer par quelque même point ou lignes, en lesquels on dit, non qu'elles s'y coupent, mais qu'elles y ont des contacts.

Quand deux lignes ou surfaces, ou ligne et surface, ont quelque point commun, on dit qu'en ce point chacune rencontre l'autre. S'il s'agit de deux lignes, cas auquel, quand elles ont été prises au hasard dans l'espace, leur rencontre est l'occurrence la moins fréquente, on dit souvent encore que chacune s'appuie sur l'autre.

14. Quand tous les points qui jouissent d'une propriété commune donnée sont situés sur une certaine ligne ou bien sur une certaine surface, et que, réciproquement, tout point appartenant à cette ligne, ou bien à cette surface, jouit de la propriété dont il s'agit, on nomme la ligne, ou la surface en question, le lieu géométrique, plus brièvement le lieu des points caractérisés par la propriété donnée.

Quand toutes les lignes qui jouissent d'une propriété commune sont situées sur une certaine surface et que, réciproquement, par tout point de la surface on peut tracer sur elle une ligne au moins qui jouisse de la propriété considérée, on dit encore, mais plus rarement, que ces lignes ont la surface pour lieu géométrique.

15. Un point décrit une ligne quand il est animé d'un mouvement le laissant constamment sur elle et l'amenant à coïncider avec tout autre choisi arbitrairement sur cette ligne (ou même seulement sur une de ses parties). La ligne en question est la trajectoire du point mobile et joue le plus grand rôle dans l'étude de son mouvement, à lui-même ou à telle figure dont il ferait partie.

Une ligne engendre une surface, quand elle se meut [en se déformant le plus souvent (9)] de manière à rester sans cesse sur cette surface et à venir passer par tout point que l'on aurait marqué arbitrairement sur cette dernière (ou l'une de ses parties). A ce point de vue, on dit qu'une pareille ligne mobile est la génératrice de la surface, et l'on pourrait dire encore que celle-ci est la trajectoire de la ligne ; quelquefois on nomme directrices des lignes fixes tracées sur la surface dans des conditions telles, que la nécessité de s'appujer sur toutes constamment, guide et détermine le mouvement et la déformation de la génératrice.

Premières propriétés de la droite et du plan.

16. La droite est une ligne (10), le plan est une surface, dont les premières propriétés (absolues et relatives) sont irréductibles par voie déductive à des faits plus simples, dont la définition, par suite, ne peut être donnée autrement que par l'aflirmation de ces propriétés, accompagnée de références à quelques images matérielles. A l'égal de l'addition en Arithmétique, les mêmes propriétés sont la source de toutes les autres propositions de la Géométrie ; à cause de cela et de l'intimité de leur pénétration réciproque, leur exposition doit être placée tout à côté des notions générales expliquées dans le paragraphe précédent, et, en outre, se faire simultanément.

PREMIÈRES PROPRIÉTÉS DE LA LIGNE DROITE. t)

17. Voici ce qui concerne la droite considérée isolément (on dit très souvent une ligne droite).

I. Etant données deux droites quelconques et étant marqués arbitrairement deux points (distincts) sur l'une d'elles, on peut toujours déplacer celle-ci de manière à amener ces points, l'un à coïncider avec un point donné de l'autre droite, le second à être situé quelque part sur la même droite ; et ce simple déplacement suffit à réaliser la superposition complète de ces deux droites, c'està-dire à amener simultanément tout autre point de la première à être situé aussi sur la seconde, et cette première à contenir tous les points de celle-ci (Cf. 20, II, inf.).

II. Soient A, B ces deux points, A', B' ceux de la seconde droite avec lesquels, respectivement, ils sont venus ainsi se confondre, puis m, II..., d'autres points quelconques de la première droite et m' n'..., ceux de la deuxième avec lesquels ils viennent simultanément coïncider ; toute nouvelle superposition des deux droites qui ramènera A en A', et B en B', se refera point sur point, c'est-à-dire ramènera aussi m en m', n en n' ... Plus brièvement, l'égalité de nos deux droites sous la condition que les points A, B aient A', B' pour homologues respectifs n'existe que d'une seule manière (6).

Nous verrons bientôt les conditions variées dans lesquelles deux droites peuvent être superposées (23, IV, inf.).

III. Quand deux droites sont superposées, on peut faire glisser indéfiniment l'une rendue mobile sur l'autre laissée fixe dans l'espace, c'est-à-dire l'animer de mille manières d'un mouvement dans lequel la trajectoire de chacun de ses points (15) soit quelque partie de la seconde, qui, par suite, la laisse en application constante sur celle-ci. Incessamment nous analyserons les circonstances de ce mouvement qui a une très grande importance (32, inf.).

IV. Il existe toujours quelque droite remplissant la condition de passer à la fois par deux points donnés arbitrairement dans l'espace {Cf. 30, inf.).

18. Ces axiomes entraînent immédiatement les propositions qui suivent.

I. Toutes les droites sont des figures égales deux à deux, puisque deux quelconques peuvent être appliquées l'une sur l'autre (17, I).

II. Par deux points (distincts) on ne peut faire passer qu'une seule droite, puisque, s'il en existait une autre que celle mentionnée ci-dessus (17, IV), elle aurait deux points sur celle-ci et se confondrait avec elle (17, I).

III. Mais, par un même point quelconque de l'espace, on peut en faire passer une infinité, c'est-à-dire un nombre illimité de droites distinctes.

Car, par un tel point A et un autre Bj on peut faire passer une première droite (II), puis par A et un autre point B^ non situé

sur celle-ci une seconde droite, puis une troisième par A toujours et un troisième point B3 n'appartenant à aucune des deux premières, et ainsi de suite (12).

IV. Quand deux droites distinctes se rencontrent, elles se coupent en un seul point, car elles se confondraient si elles avaient commun un second point distinct du premier (II). Ex. : les droites AB, CD (fig. 3) se coupant en E (C/. 21, VIII, IX, inf.)

19. On dit rectilignes. les figures n'ayant pour éléments que des droites (et des points), quelquefois mais plus rarement, une figure dont tous les points sont situés sur une même droite.

La droite et les figures rectilignes se présentent continuellement à nos yeux : la trace d'un rayon lumineux très ténue dans une atmosplicre poudreuse et obscure, une arête (192, inf.) d'un beau cristal, un fil très fin, flexible et bien tendu, le bord tranchant d'une bonne règle (30, inf.), nous donnent autant de visions matérielles de l'idée abstraite de la droite, à cela près qu'il faut, par la pensée, rendre tous ces objets indéfinis (23, III, inf).

Le jeu de la coulisse du trombone (instrument de musique) met en action, dans chacune de ses branches, la propriété essentielle d'une droite de pouvoir glisser sur elle-même (17, III).

Deux fils tendus, deux règles, fournissent bien facilement des vérifications expérimentales des principaux faits énoncés ci-dessus.