O'H'I'K' OH' 01' OK' OH'.OI'.OK

378. Quand deux tétraèdres ont un sommet commun O, avec des faces opposées bcd, /îyo (fig. 90, I) dans un même plan, le rapport de leurs volumes est égal à celui des aires de ces faces (Cf. 303).

I. Il 3' a toujours équivalence entre deux triangles ayant un sommet commun avec des côtés opposés égaux sur une même droite, et aussi bien, entre deux tétraèdres ayant une arête commune avec des côtés opposés égaux sur une même droite, car le rapport de ces aires ou volumes est égal à celui des côtés en question, sur les droites qui les contiennent (303), (376), c'est-à-dire à 1. Il nous sera commode d'exprimer ces faits, en disant que l'aire d'un triangle, le volume d'un tétraèdre, demeurent constants, quand on déplace arbitrairement (mais sans changer leurs longueurs) un seul côté de l'un, ou de l'autre, sur les droites qui les contiennent.

II. Des déformations de ce genre vont nous suffire pour amener nos tétraèdres à avoir deux trièdres jumeaux, sans changer leur sommet commun O, ni leurs volumes, ni le plan de leurs bases, ni les aires de celles-ci.

Un côté quelconque cd du triangle bcd, rencontrant certainement une des droites, yS par exemple, des côtés de ,îvo, puisqu'il ne peut être parallèle à toutes trois à la fois, nous appellerons C leur intersection, et, jusqu'en Cd', C'o', nous ferons glisser les segments cd, yS sur leurs droites, pour remplacer les triangles bcd, /3yô, nos tétraèdres Obcd, Oyîyô par bC'd', fiCo', ObC'd', O.îG'o' qui leur sont respectivement équivalents (I).

III. De telles positions (fig. 90, II), où nos tétraèdres ont l'arête commune OC, nous passerons à de troisièmes, où deux autres arêtes seront sur une même droite, en observant que la droite bd' coupe l'une ou l'autre des droites concourantes C'ji, C'o', la première par exemple, et en faisant glisser le segment bd' sur sa droite jusqu'à b'd" position où l'une de ses extrémités (peu importe laquelle) est à l'intersection /j', et où il tombe dans le demi-plan d'arête Ci qui ne contient pas 8'. Le tétraèdre 0,îC'S' n'a pas été modifié; mais l'autre ObCd' et sa face bCd' ont été remplacés par Ob'Cd", b'Cd' qui leur sont équivalents pour les mêmes raisons que ci-dessus (II).

IV. De ces troisièmes positions ifig. 90, III), où nos tétraèdres ont l'arête commune OC, leurs autres Cb', C,3 sur une même droite, nous les ferons passer à des quatrièmes où ils auront des trièdres jumeaux avec une arête commune appartenant à ceuxci, en observant que la droite d"o' ayant ses points d", o' de part et d'autre de C,ib', la coupe certainement en quelque point C, puis en faisant glisser les segments Cb', Cfi sur leur droite commune, jusqu'en Cb", C'a où leur extrémité commune C est venue en C" sur la droite d"5'. Nos tétraèdres Ob'Cd", 0}Co' et

COMPARAISON DES VOLUMIiS Dli DEUX TÉTHAÈDUES. 185

leurs faces h'C/d", ;'iC'ù' se sont ainsi déformés en Ob"C"d", 0/3'C"o', b"C"d", i'i'C"6', toujours de mêmes volumes ou aires pour les mêmes raisons, étant par suite équivalents aux proposés, à leurs faces opposées au sommet commun O ; et maintenant, leurs trièdres C"Ob"d", U'O'i'o' sont jumeaux, ainsi que les angles b"C"d", ,3'G"o' de leur faces opposées à O. V. On a donc (377)

Obcd

C"Ob"d" C"O.C"b".C"d" C"b".C"d"

C'Ofi'o' ~ G"O.C"ri'.G"o' ~ C"[i'.C"û'

et aussi (304)

C"b".C"d" b"C"d" bcd

C"p'.C"5' ~p'C"6^' "fiyS*

proportions dont la combinaison donne bien 06crf:0;îY5 = bcd :;îyo, comme nous voulions le prouver.

379. Quand deux tclraèdrcs ont une face commune BCD et leurs sommets opposes A,, A.^ sur un plan parallèle à celte face, ils sont équivalents {Cf. 305).

Car une translation du premier, égale et parallèle à AjAj, l'amène en A^^bcd, position dont l'équivalence à A^BCD résulte de ce que ces deux tétraèdres ont un sommet commun A.> avec des faces opposées bcd, BCD égales dans un même plan (378).

380. Dans un tétraèdre quelconque, on nomme base, une de ses faces choisie arbitrairement (ou son aire) et /ja»/ea/' (correspondante) la distance à cette face, du sommet qui lui est opposé (277), celle, tout aussi bien, à la même face, de son plan parallèle mené par ce sommet (283).

Le rapport des volunws de deux tétraèdres est égal à celui du produit de la base du premier par sa hauteur, au produit de la base du second par sa hauteur (Cf. 306).

I. Un tétraèdre est trirectangle en un de ses sommets, quand il y a un trièdre trirectangle (352, 111).

Tout tétraèdre ABCD {fig. 91) de base BCD, de hauteur HA est équivalent à un autre, trirectangle en C, dont la base B,CD et la hauteur C\^, sont l'une équivalente, l'autre égale à celles BCD, HA du proposé.

En C élevons dans le plan de la face BCD une perpendiculaire sur son côté CD, que nous couperons en B, par une droite issue de B parallèlement à CD ; au même point C, élevons sur le plan BCD une perpendiculaire que nous couperons en A, par un plan issu de A parallèlement à BCD. Le tétraèdre AjBjCD, de base B,CD, de hauteur CAi, remplit les conditions voulues.

D'abord, son trièdre en G est trirectangle, les arêtes CD, CB,

186 FIGURES, VOLLMES POLYÉDRIQUES.

de celui-ci étant perpendiculaires entre elles, et leur plan B,BCD l'étant à la troisième CA,, Ensuite, sa base B,CD est équivalente à BCD, celle du proposé, comme aj'ant le côté commun CD, avec des sommets opposés B,, B sur une parallèle à ce côté (305). Sa hauteur CA, est égale à HA, comme parallèles comprises entre plans parallèles.

Enfin, il est équivalent au tétraèdre proposé; car il l'est au tétraèdre A, BCD, comme ayant tous deux le sommet commun .\,, avec des faces opposées BjCD, BCD dans un même plan, de plus équivalentes (378). Et celui-ci l'est au proposé, comme aj-ant tous deux la face commune BCD, avec des sommets opposés A,, A sur un plan parallèle à cette dernière (379).

IL Soient maintenant A'B'C'D' un autre tétraèdre, de base B'C'D', de hauteur H' A', puis A',B',C'D' le tétraèdre trirectangle déduit de lui comme A,B,CD l'a été de ABCD. Les trièdres CA,B,D, C'A',B',D' étant égaux entre eux, ou à des jumeaux, comme trirectangles (352, III), on a (377i, (304),

A^CD A,B,CD CBj.CD.CA, CB,.CD CA,

A'B'C'D' A',B',C'D' C'B'i.C'D'.C'A', C'B',.C'D' C'A', B,CD CA, BCD. H A

B'jC'D' C'A', B'C'D'. H'A'

à cause des équivalences ou égalités