Les variétés suivantes du prisme sont à distinguer

I. Quand la base d'un prisme quadrangulaire est de même nature que ses faces latérales, c'est-à-dire un parallélogramme ABCD ifig. 94), on voit immédiatement que ce polyèdre ABCDA'B'C'D' est tout aussi bien un prisme quadrangulaire, ayant pour bases une paire quelconque BB'C'C, AA'D'D de faces latérales parallèles, et pour arêtes latérales (à ce nouveau point de vue) ceux des côtés des bases primitivement considérées, tous parallèles entre eux évidemment, BA, B'A', CD', CD, qui ne sont situés, ni dans le plan de l'une de ces faces latérales, ni dans celui de l'autre.

Ce polyèdre, qu'alors on peut de trois manières considérer comme un prisme quadrangulaire, se nomme un parallélépipède. Il a 3 paires de bases ou faces opposées, et autant de hauteurs correspondantes, soit 6 faces en tout, deux à deux égales et parallèles; il est une variété d'hexaèdre.

II. Comme chacun des prismes quadrangulaires que l'on peut voir dans un parallélépipède, a 4 arêtes latérales égales et parallèles, les arêtes d'un parallélépipède sont au nombre de 12, formant 3 groupes dont chacun contient 4 arêtes parallèles et égales entre elles, mais non parallèles ci celles des autres groupes. Deux arêtes sont opposées, quand elles appartiennent, comme AA', ce, à un même groupe sans être situées dans une même face.

Un des mêmes prismes aj^ant 4 sommets sur une de ses bases et autant sur l'autre, le parallélépipède en a 8. Deux sommets sont opposés, comme A, C', quand ils appartiennent respectivement à deux arêtes opposées, et en même temps, aux deux faces opposées qui ne contiennent pas celles-ci, soit respectivement à deux faces opposées, à deux autres encore et aux deux dernières enfin. Il y a ainsi 4 paires de sommets opposés, et, par suite, autant de diagonales (319), parce que deux sommets non opposés appartiennent toujours à quelque môme face.

III. Les 4 diagonales concourent en un même point qui est le milieu de chacune.

Soient effectivement AC, CA' deux diagonales quelconques : chacune des trois faces passant par A contient l'un ou l'autre des points C, A', car si aucune ne contenait C par exemple, C, non C, serait l'opposé de A ; et, comme ces points ne sont qu'au nombre de 2, l'un, il est noté A', se trouve à la fois sur deux de ces faces, c'est-à-dire sur une arête passant par A. Les opposés C, C de A, A' sont donc placés sur l'arête opposée, et cela de manière à rendre direct le parallélisme de CC à AA' (143). Comme on a d'autre part AA' = CC, le quadrilatère AA'C'C est un parallélogramme (138, V) dont les diagonales AC, CA' se coupent bien au point milieu O de chacune (309).

Ce point O, intersection de toutes les diagonales et milieu de chacune, se nomme le centre du parallélépipède {Cf. 421, inf.).

IV. En faisant abstraction de deux sommets opposés, C, A' par exemple, et des 6 arêtes dont 3, CC, CB, CD, concourent en l'un C, dont les 3 autres (opposées à celles-ci) A'A, A'D', A'B' concourent en l'autre A', il reste 6 sommets et 6 arêtes (opposés mutuellement dans trois paires) qui sont les sommets et les côtés d'un certain hexagone gauche ABB'CD'DA.

Les 6 tétraèdres qui ont la diagonale considérée CA' pour arête commune, et les 6 côtés de cet he.vagone pour arêtes opposées, respectivement, sont équivalents. Car deux de ces tétraèdres, quand ils ont été formés avec deux côtés contigus de cet hexagone, CB' et CD', pour fixer les idées, ont, dans un même plan, savoir celui de ces côtés, deux faces A'CB', A'C'D' équivalentes, même égales, comme résultant de la décomposition du parallélogramme A'B'CD' par sa diagonale A'C (309), et, avec cela, un même sommet opposé, savoir C autre extrémité de la diagonale du parallélépipède qui passe par A' (378).

Ces 6 tétraèdres étant contigus deux à deux extérieurement, et leurs faces par lesquelles ils ne se soudent pas reproduisant la totalité de la périphérie du parallélépipède, ce dernier est leur somme. Par suite, le volume de chacun de ces tétraèdres est le sixième de celui du parallélépipède.