V. Tout sommet du parallélépipède et les 3 qui limitent les

PARALLLLKPIPKDE, CUBE, l'YUAMIOi:, 189

arêtes concourant en ce sommet, sont ceux d'un tétraèdre équivalent encore à chacun de ceux ci-dessus (IV), aijant, par suite, un volume égal au sixième de celui du parallélépipède.

Soit par exemple B'A'BC le tétraèdre de ce genre, dérivé du sommet B'. On peut le considérer comme ayant pour base le triangle A'B'C, et pour sommet opposé le point B. Or celui des tétraèdres ci-dessus, qui a [)our ai'ètes opposées la diagonale CA' du parallélépipède et le côté B'C de l'hexagone gauche, peut être considère comme ayant pour base le même triangle A'B'C, et pour sommet opposé le point C. Ces deux tétraèdres sont donc équivalents, puisque la droite BC qui joint leurs sommets est parallèle à la même arête B'C de leur base commune (379).

VI. Nous avons vu que les 12 arêtes d'un parallélépipède forment trois groupes composés chacun de 4 arêtes parallèles et égales entre elles. Quand ces 3 longueurs d'arêtes sont toutes égales, toutes les faces sont des rhombcs (309), et le parallélépipède se nomme un rhomboèdre.

334. Quand une face d'un parallélépipède est un rectangle, et que les 4 arêtes, non appartenant ni parallèles à cette face, sont perpendiculaires au plan de celle-ci, on aperçoit immédiatement que toute autre face est aussi un rectangle, au plan duquel sont également perpendiculaires les 4 arêtes n'appartenant, ni à cette face, ni à son opposée, que tous les angles dièdres du parallélépipède sont droits et que tous ses trièdres sont trirectangles. Ce parallélépipède est dit alors rectangle, et ses trois hauteurs se confondent respectivement avec ses trois longueurs d'arêtes, que l'on nomme alors ses dimensions.

Chacun des parallélogrammes ayant pour diagonales deux diagonales quelconques du parallélépipède (383, III), est alors un rectangle évidemment; d'où cette conséquence (310), que les 4 diagonales d'un parallélépipède rectangle sont toutes égales entre elles.

Quand deux longueurs d'arêtes (non parallèles) sont égales, la face ayant de telles arêtes pour côtés est un carré (Ibid.), et le parallélépipède rectangle est dit à base carrée.

385. Un cube est un parallélépipède rectangle dont les trois longueurs d'arêtes ont une même valeur conunune que l'on nomme son côté ; il est tout aussi bien un rhomboèdre (383, VI) à faces toutes carrées, à trièdres tous trirectangles.

386. En coupant un angle solide déchevêtré quelconque, par un plan rencontrant toutes ses arêtes, mais non le prolongement de quelqu'une, on obtient un polygone plan formant avec les triangles déterminés par les traces du plan sécant sur les faces de l'angle solide, un polyèdre, déchevêtré aussi, que l'on

nomme une pyramide triangulaire, quadrangiilaire, ..., suivant le cas; Ex. : OABCDE (fig. 95). Le polygone plan ABCDEA et les triangles OAB, OBC, ... venant d'être mentionnés, les côtés de ceux-ci, issus de leur sommet commun, sont la base et les faces, arêtes latérales de la pyramide ; le sommet O de l'angle solide est le sommet de la pyramide, et la distance HO de ce sommet au plan de la base est sa hauteur.

On remarquera qu'une pyramide triangulaire n'est pas autre chose qu'un tétraèdre, et qu'ainsi elle est pyramide de 4 manières .

Deux sections planes de ce genre, n'ayant toutefois aucun point intérieur commun, et les quadrilatères que leurs traces déterminent sur les faces de l'angle solide, forment un tronc de pyramide, dont elles sont les bases. Quand les plans de ces sections sont parallèles, les bases sont homothétiqucs (404, inf.), les quadrilatères constituant ses faces lalérales sont tous des trapèzes (308), et le tronc est dit à bases parallèles, c'est le cas le plus intéressant; Ex. : pqrsFQRS (fig. 101). La hauteur d'un semblable tronc est la distance AK de ses bases.

387. Dans la mesure des volumes, l'unité adoptée est le volume du cube dont les 12 arêtes sont égales à funité de longueur, en conséquence, le mètre cube, le décamètre cube, ..., les décimètre, centimètre, millimètre cubes, selon que, soit le mètre, soit l'un de ses multiples ou sous-multiples décimaux, aura été choisi pour unité de longueur.

Cette convention, celle aussi sur l'unité d'aire (311), sont expressément sous-entendues dans toutes les propositions relatives à la mesure des volumes.

Pour les motifs auxquels nous avons déjà fait allusion (Ibid.), le volume du tétraèdre ayant pour hauteur et base les unités de longueur et d'aire, serait une unité mieux choisie.

388. Le volume d'un tétraèdre a pour mesure le tiers du produit de l'aire d'une face quelconque prise pour base (380), par la longueur de la hauteur correspondante (Cf. 312).

L Le volume d'un tétraèdre PQRS {fig. 96), trirectangle en F et ayant ses arêtes issues de ce sommet toutes égales à l'unité de longueur, a pour mesure 1 : 6.

Car les plans des trois faces de ce tétraèdre qui concourent au sommet de son angle trirectangle, et les plans menés parallèlement à ceux-ci par les sommets opposés, se coupent évidemment suivant les 12 arêtes d'un cube ayant l'unité de longueur pour côté, et le tétraèdre en question peut être considéré comme détaché de ce cube, simple variété de parallélépipède, par le plan QRS passant par les extrémités des trois arêtes issues d'un même sommet P.

VOLUMK d'un TKTHAKDHE, ETC. l'JI

Or le volume de ce cube a pour mesure 1 pnr convenlion (387), et celui du tétraèdre en est la sixième partie (333, V).

II. Ayant pris pour base du tétraèdre PQRS ci-dessus, l'une de ses faces PRS passant par le sommet de son angle trirectangle, face ayant pour mesure 1 : 2 (312, I), puisqu'elle est un triangle rectangle où les côtés de l'angle droit sont tous deux égaux à l'unité de longueur, et pour hauteur correspondante son arête PQ perpendiculaire à cette lace, nous lui comparerons le tétraèdre |)rop()sé AHCD (fuj. 91) ayant pour base BCD et poui' hauteur HA. On aura ainsi la pr()])orlion