II. L'homologue d'un plan est un plan parallèle

Si le point m ci-dessus se meut ar])itrairement sur un plan fixe y.\ contenant le point fixe o, la droite o'm' toujours parallèle à om, le point m' par conséquent, resteront dans le plan fixe 'I" mené par le point fixe o' parallèlement à 'i* ; ce dernier a donc le plan y?' pour homologue.

III. Deux droites, ou une droite et un plan, ou deux plans, quand ils sont parallèles dans une figure, ont pour homologues dans l'autre, ou deux droites, ou une droite et un plan, ou deux plans, qui sont toujours parallèles aussi.

Soient, par exemple, M?, cô un plan et une droite parallèles dans une figure, et •,?', CD' leurs homologues dans l'autre. Les droites (D, CD' étant parallèles entre elles (I), le plan 'P supposé parallèle à la première oD, l'est aussi à la seconde cD' (49) ; son parallèle "î" (II) l'est donc à toutes deux (59), à (©' en particulier. Pour une paire de droites parallèles ou de plans parallèles, le raisonnement est tout semblable.

IV. Deux droites, ou une droite et un plan, ou deux plans, se rencontrant dans une figure, ont pour homologues dans l'autre, ou deux droites, ou une droite et un plan, ou deux plans qui, dans chaque cas, se rencontrent aussi en formant un assemblage égal à celui dont il est l'homologue.

Soient DTO, dL, o, les pièces de l'assemblage considéré et leur point ou un de leurs points d'intersection, puis DR/', DW, o', les homologues de ces trois objets. Le point o' appartient aussi à OÏL', i)b' simultanément, puisque chacun de ces objets le contient (I), (II). Si maintenant on imprime à l'assemblage

DISPOSITION OES KLKMF.NTS IIOMOI.OOL'ICS. 197

•Tll/Ob une translation égale et parallèle au segment oo' (142), ses deux pièces nil/, Ob s'appliqueront respectivement sur leurs parallèles -TTC/', -JZ)' dans le second (41), (55), d'où la possibilité de superposer l'un à l'autre.

En particulier, une droite et un plan, soit perpendiculaires dans une figure, soit obliques, ont toujours pour homologues une droite et un plan, soit perpendiculaires aussi dans l'autre, soit faisant un angle égal (331).

V. La disposition topographique de trois points m, n, p en ligne droite dans une figure, est identique à celle de leurs homologues m', n', p' en ligne droite aussi dans l'autre.

Si, par exemple, n est intérieur au segment mp, les directions mn, pn sont opposées; les directions m'n', p'n' le sont donc l'une à l'autre, soit que l'homothétie soit directe, cas auquel elles sont respectivement identiques aux premières, soit qu'elle soit inverse, cas auquel les mêmes directions sont toutes deux respectivement opposées aux premières. .Même raisonnement si n était extérieur au segment mp.

VI. Un point, soit intérieur à une bande, à un mur, à un angle rectiligne ou dièdre, (i un triangle, à un polygone plan, ci une moulure, à un angle solide, à un pohjèdre, ... dans une figure, soit extérieur, a pour homologue un point, soit intérieur aussi dans le premier cas, soit extérieur, à la région homologue dans Vautre figure. Et de même, si, au lieu d'un point, il s'agissait d'une droite ou demi-droite, d'un plan ou demi-plan.

Tout ceci résulte immédiatement de l'application de l'observation précédente (V) aux figures aj-ant intérieur et extérieur.

VII. Quand ils sont homologues dans deux figures homothétiques, deux angles rectilignes ou dièdres, saillants pour fixer les idées, sont égaux entre eux.

Car, à cause du parallélisme de leurs côtés ou arêtes et faces, une translation appliquant le sommet ou l'arête de l'un sur celui ou celle de l'autre, applique aussi cet angle sur son homologue quand l'homothétie est directe, ou bien sur l'opposé au sommet ou à l'arête de ce dernier quand elle est inverse (182^ (192), (Cf. IV).

Nous avons déjà remarqué (IV) que la même égalité existe encore, entre l'angle d'une droite et d'un plan dans une figure, et celui de leurs homologues dans l'autre.

VIII. Deii.v trièdres homologues sont égaiLV directement ou inversement (358), selon que l'homothétie des figures est directe ou inverse. Même raisonnement.

IX. Quand elles sont en homothétie directe, deux figures sont toujours homota.viques (132), (218), (373) ; car nous venons de constater implicitement, que de simples translations suflisent pour superposer, soit les directions de deux segments homologues, soit deux angles rectilignes ou deux trièdres homologues.