FIGURES HOMOTHÉTIQUES, FIGURES SEMBLABLES

Mais quand l'homothétie est inverse, il y a, entre les figures, antitaxie (rectiligne), si leurs points sont tons sur une même droite, homotaxie -{plane) , s'ils sont sur un même plan, antitaxie {d'espace}, s'ils ne sont pas dans un même plan. Car, dans ce dernier cas par exemple, deux trièdres homologues sont toujours inversement égaux (VIII), fait impliquant leur antitaxie.

X. Deux figures F', F", chacune homothétique à une même troisième F, le sont toujours entre elles, cela directement ou inversement selon que les deux premières homothèties sont de natures identiques ou opposées. Conséquence immédiate de la nature du parallélisme mutuel de deux demi-droites parallèles à une même troisième (80).

Figures semblables.

398. Deux figures sont semblables, directement ou inversement, quand il existe entre elles une correspondance permettant de déplacer l'une de manière à la rendre homothétique à l'autre, directement ou inversement (396).

Quelquefois deux figures semblables d'une manière, le peuvent devenir d'une autre encore, sous le régime d'une autre loi de correspondance {Cf. 360).

L'égalité de deux figures est un cas particulier évident de la similitude directe.

Les propositions du n" 397 s'appliquent immédiatement à des figures semblables, moyennant de très légères modifications à leurs énoncés : dans les alinéas I, II, il faut supprimer la mention du parallélisme des droites et des plans homologues ; dans l'alinéa IX, pour ce qui concerne deux figures situées sur une même droite ou sur un même plan, il faut qu'elles puissent être mises en homothétie par un simple glissement sur la droite ou le plan en question. Pour s'assurer de tout cela, il suffit de placer les figures en homothétie.

Comme deux figures homothétiques sont forcément en état de similitude, elles jouissent de toutes les propriétés des figures semblables, qui sont indépendantes de leurs situations relatives.

399. Dans deux figures semblables, le rapport des longueurs de deux segments homologues quelconques, celui des aires de deux triangles homologues, celui des volumes de deux tétraèdres homologues, sont trois nombres constants, dont le second et le troisième sont les carré et cube du premier.

I. Soient dans la première figure, m, n ifig. 99) les extrémités d'un segment quclconcjuc, cl o, b celles de quelque autre non nul cl fixe, ])uis dans la seconde, m', n\ a', b' les homologues de

RAPPORT DU SIMir-ITUDi:. 199

ces points, les derniers fixes par consécjuent, et joignons am, an, bm, puis semblablement a'in', a'n' , b'm' . Les triangles mna, m'n'a' étant équiangles (397, VII), on a

mil ma

m II m a

et les triangles mab, m'a'b' l'étant encore, donnent semblablement

ma ab

m'a' a'b' Quels que soient les segments homologues mn, in'ii', on a donc

mn ab

et ce dernier rapport est constant comme ses termes.

Ce rapport invariable des longueurs de deux segments homologues quelconques, cmi)runtés à la première figure et à la seconde, se nomme le rapport de siinUitiide des deux figures ; nous le désignerons ici par c.

II. Soient mnp, m'n'p' deux triangles homologues ; leurs angles en m, m' étant égaux, chacun à l'autre ou à son opposé au sommet (397, VII), leurs aires mnp, m'n'p' et les côtés comprenant ces angles donnent lieu (304) aux relations

mnp mn.mp mn lup

m'n'p' m'n'.m'p' in'n' in'p'

III. Comme dans deux tétraèdres homologues innpq, m'n'p'q', les angles triédres en m, m' sont aussi chacun égal à l'autre ou à son opposé au sommet (397, VIII), on trouvera pareillement (377)

mnpq mn.mp. mq mn mp mq

m II p q m n . m p . m q m n m p m q

400. Le théorème précédent subsiste de tons points, si, dans son énoncé, on remplace respectivement les segments, triangles, tétraèdres, par des lignes brisées, polygones plans ou plaques brisées, polyèdres quelconques.

S'il s'agit par exemple des deux lignes brisées homologues mnpqr, m'n'p'q'r', la suite des rapports égaux

mn np pq qr

——, := -7- = V: == ^ = P (399, I) mn np p q qr

20) FIGOKHS HOMOTHÉTIQUES, FIGUUKS SK.M BLAHI,KS.

donncrii aussi

mn -\- np -}- pq -\- qr ^^^ ^^

, , , , , ' , , = P (303, V), mn + n p -{- p q + q i

montrant ainsi, que le rapport des longueurs de deux lignes brisées homologues est toujours, comme celui de deux segments, égal au rapport de similitude.

Les faits topographiques constatés antérieurement (397, VI) rendant possible la décomposition en triangles homologues, en tétraèdres homologues, de deux polygones plans ou plaques brisées homologues quelconques, de deux polyèdres homologues, l'intervention des alinéas II, III du numéro précédent montrera semblablement, que les rapports des aires des uns, des volumes des autres, sont toujours égaux au carré p^, au cube p^ du rapport de similitude.

401. On retiendra que dciiv figures semblables sont isomères (219), an moins en ce qui concerne leurs angles recliligncs et dièdres, y compris ceux de droites et de plans (398).

Quant à leurs segments rectilignes, ils sont dans la proportionnalité que nous avons constatée tout à l'heure (399), et qui est une relation presque aussi simple que l'égalité. Mais, quand le rapport de similitude est i, deux segments homologues sont toujours égaux, et Visomérie des figures est complète. Elles sont alors égales directement ou inversement, selon que leur similitude est directe ou inverse (398j, (373, II, III), superposables si elles sont planes {Ibid. IV).

Centre dhomothétie.

402. Quand les parties de deux figures se correspondent de manière que les points de l'une, par suite, ses lignes et ses surfaces, ont pour homologues dans l'autre des points, lignes et surfaces respectivement aussi, quand, en outre, la loi de la correspondance détermine les positions relatives des parties homologues dans l'espace, on dit double, un point qui coïncide accidentellement avec son homologue, et encore une ligne ou surface se confondant avec son homologue, c'est-à-dire contenant aussi l'homologue de tout point pris sur elle. Sauf le cas exceptionnel d'identité entre les figures, qui demeure expressément exclus, il y a certainement des points, lignes ou surfaces qui ne sont pas doubles ; mais il peut aussi s'en trouver qui le sont, et alors il y a en général grand intérêt à les considérer.

403. C'est le cas de deux figures homothétiques, où la nature et la disposition de ces objets doubles sont très simples et remarquables.

DHOITKS, POINTS DOIBLKS IHi DEUX FIG. IIOMOlIlKTirnES. 201

I. Le nombre des points doubles est 1 (ta plus. Car, s'il en existait deux dislincts O, U, l'honiotaxic serait directe, et le rapport de similitude = 1, puisque le segment non nul OU est égal et directement parallèle h lui-môme OU, constituant son homologue. L'homologue m' d'un point quelconque m d'une figure, serait l'extrcmité d'un segment égal et directement parallèle à 0/n par exemple, porté dans l'espace à partir de O homologue de O, c'est-à-dire celle du segment Om lui-même; m' coïnciderait donc toujours avec m, et les figures seraient idenlicpies, contrairement à ce que nous supposerons essentiellement (402).

II. Toute droite mm' (fig. 100) menée par deux points homologues {on passant par le point double, s'il en existe un) est double. Car l'hom.ologue n' d'un point quelconque n de cette droite est situé sur la droite menée par n parallèlement à mnï, c'està-dire sur cette droite elle-même, puisque ce point n lui appartient. Aucune autre droite double n'existe évidemment.

III. Toutes les droites doubles concourent en un même point O qui est double, ou bien elles sont parallèles.

Soient D, E deux droites doubles distinctes, puis m, n deux points pris arbitrairement sur elles, et m', n' leurs homologues situés sur elles, forcément aussi. Les droites mn, nïn' étant homologues sont parallèles, dans un même plan par suite; les droites mm' , nn', c'est-à-dire D, E, sont donc aussi dans ce plan.

Si ces droites se coupent, leur intersection 0 est un point double, alors unique (I), parce que, situé sur D et E à la fois qui sont des droites doubles, son homologue appartient aussi à l'une et à l'autre, se confondant ainsi avec lui-même. Toute autre droite double rencontre l'une ou l'autre, parce qu'elle est dans quelque même plan avec chacune, ne pouvant être parallèle à toutes deux à la fois, et la rencontre ne peut se faire qu'en 0 ; car si c'était en un autre point, celui-ci, comme nous venons de le voir, serait un second point double, ce qui ne peut se produire.

Si D, E sont parallèles, toute autre droite double leur est parallèle aussi ; car si elle rencontrait l'une, ce serait en un point double, où l'autre passerait, au lieu d'être parallèle à la première.

IV. Les plans doubles sont tous ceux que l'on peut mener par les droites doubles. Par suite, ils concourent avec elles au point double, si c'est le cas de celles-ci, ou bien ils leur sont parallèles.

Tout plan double, contenant l'homologue m' de l'un quelconque m de ses points, contient aussi la droite mm', c'est-à-dire une droite double (II). L'homologue d'un plan quelconque passant par une droite double D se confond avec lui, parce qu'il lui est parallèle et contient l'homologue de la droite D qui se confond avec elle. Il est évident qu'âne droite ou un point, intersection de deux ou trois plans doubles, est double également.