FIGURES HOMOTHÉTIQUES, FIGURES SEMBLABLES

V. Quand l'homothétie est directe et le rapport de similitude = 1, les droites doubles sont parallèles entre elles, ainsi qu'aux plans doubles (IV), et il n'existe aucun point double. Les figures sont superposables par une simple translation parallèle aux droites doubles.

Un segment quelconque mn dans une figure étant alors directement parallèle et égal à son homologue m'n', les droites doubles mm', nn', quelconques aussi, jouissent de la même propriété (138, V). Il n'y a aucun point double, car s'il en existait un, toutes les droites doubles y concourraient (III). Il est évident qu'une translation égale et parallèle à mm', applique tous les points de la première figure sur leurs homologues dans la seconde,

VI, Dans tout autre cas, il existe un point double 0, en lequel concourent les droites et plans doubles, et qui divise, dans le rapport de similitude, tout segment compris entre deux points homologues, cela extérieurement ou intérieurement selon que l'homothétie est directe ou inverse.

Les droites doubles mm' , nn' qui joignent les extrémités de deux segments homologues non nuls mn, m'n' ne peuvent être parallèles, puisque si elles l'étaient, ces segments, toujours parallèles, le seraient directement avec égalité entre eux (138, IV); elles se coupent donc en un certain point O, double comme nous l'avons vu (III).

Les segments Om, Om' de la droite double mm' sont toujours homologues, parce que O est homologue à O comme m à m' ; ils ont donc des directions identiques quand l'homothétie est directe, mais opposés quand elle est inverse. Dans tous les cas, d'ailleurs, on a Om : Om' = p (399).

Ce point double 0, quand il existe, se nomme le centre d'homothétie des deux figures, dites elles-mêmes homothétiques par rapport à ce point.

404. Réciproquement, deux figures sont homothétiques, si les points m, n, p, ... de l'une correspondent aux points m', n', p', ... de l'autre, de manière : I, que tous les segments mm' nn', pp' , ... soient directement parallèles et de longueurs égales ; II, ou bien, qu'ils passent par un même point O les divisant dans un même rapport et d'une même manière.

Car, dans le premier cas, les segments mn, mp, np, ... sont directement parallèles à m'n', m'p', n'p', ..., de plus égaux respectivement à ceux-ci (138, IV) ; dans le second, ils leur sont toujours parallèles d'une même manière (146), (256, 1); on est ramené ainsi aux cas examinés dans les alinéas V et VI du numéro précédent.

En particulier, les traces m, n, p, ... et m', n', p', ..., sur les deux côtés d'une bande ou sur les deux faces d'un mur, de droites

CONSTULCTION DES FIGUKES HOMOTHÉTIQUES. 203

toutes parallèles on toutes concourant en un même point 0, sont deux figures homothé tiques.

Dans le premier cas, en efTct, le parallélisme des segments mm' , nn', pp', ... est direct, et ils sont de longueurs égales. Dans le second, les segments 0/7J, On, Op, ... sont proportionnels à Om', On', Op', ... (145j, avec des directions soit identi([ues respectivement, soit opposées, selon que O est, soit extérieur, soit intérieur à la bande ou au mur (138, III), (143).

405. Voici les cas les plus intéressants du problème de la construction des figures homothétiques.

I On donne deux points homologues a, a', le genre de l'homothétie et le rapport de similitude p.

La construction de l'homologue m' d'un point ([uelconque /?i de la première figure F, a été expliquée en lait au n^ 396. Si l'on voulait au contraire déduire m de m', point de la seconde figure F', on n'aurait qu'à substituer à p, son inverse arithmétique o' = 1 : ?.

Le cas où l'on remplacerait la connaissance des deux points homologues a, a' par celle du centre d'homothétic O, est compris dans celui-ci, puisque, en ce centre, se confondent deux points homologues. Mais, comme la droite Om' est toujours api)liquée sur Om, on serait dispensé du tracé des parallèles.

II. On donne deux paires {distinctes} a, a' et b, b' de points homologues, les droites ab, a'b' étant, bien entendu, parallèles.

Le problème revient au précédent (I); car le genre de l'homothétie est déterminé par celui du parallélisme des segments dirigés aa', bb' , et l'on obtient p par la formule ^z= ab : a'b'. Pour obtenir l'homologue d'un point quelconque m de la première figure, étranger à la droite ab, on peut évidemment encore, et c'est très expéditif, chercher l'intersection m' des parallèles menées par a' , b' à am, bm respectivement.

III. On donne deux points homologues a, a' et, en outre, le centre d'homothétic O (en ligne droite avec a, a'), ou bien la condition que la droite de deux points homologues soit toujours parallèle à aa'.

S'il s'agit des premières données, on retombe sur le cas précédent (II), puisque la connaissance du centre est celle de deux points homologues confondus, et, par suite, sur le cas I dont les tracés s'exécuteront sur l'une des paires a, a' ou 0, O, à volonté.

S'il s'agit des dernières données, l'homothétie est directe, le rapport de similitude est 1, et on peut encore obtenir l'homologue de tout point m de la première figure, en prenant l'extrémité d'un segment a'm' égal et directement parallèle à am, porté à partir de a'.