Quand l'homothétie est inverse, le centre O existe

204 FIGURES HOMOTHÉTinUES, FIGURES SEMBLABLES.

toujours (403, VI), et si, de plus, p — 1, l'une ou l'autre des constructions ci-dessus (405) donne une figure F' inversement égale à F.

En outre, il y a réciprocité entre ces deux figures, car, à cause de 1 : p' = 1 : 1 = 1, on retrouvera la première en construisant avec le môme centre O et le même rapport 1 une figure inversement homothétique à la seconde. De pareilles figures sont dites symétriques par rapport au point 0, nommé lui-même leur centre de symétrie {Cf. 417, inf.).

Une figure Fj inversement égale à F lui est semblable inversement, avec 1 pour rapport de similitude. Car, isomère et antitaxique à F, elle est isomère mais homotaxique, égale par suite (373) à F', symétrique à F par rapport à un centre quelconque, cela parce que F, F' sont isomères et antitaxiques.

Deux figures planes {ou rectilignes) qui sont semblables d'une manière, le sont toujours aussi de l'autre. Car la symétrique de l'une par rapport à un centre quelconque, lui est isomère, partant égale {Ibid. IV) et en même temps inversement semblable (398), (397, X).

407. La considération des figures sjnnétriques réduit à un mot la démonstration que nous avons promise au no 373, II (m fine).

Si les tétraèdres AiBiC,D,, A2B2C2D2 des figures isomères F,, F., mentionnées au lieu cité sont antitaxiques, construisons la figure F'j symétrique à F, par rapport à un centre quelconque (406). Il y a isomérie encore entre F'^ et F,, parce que F'j est isomère à Fj qui est supposée l'être à F2 ; mais il y a homotaxie entre leurs tétraèdres A'jB'iC'jD',, AoB.^QDg qui, tous deux, sont antitaxiques à AjBiCiD,, le premier par construction, le second par hypothèse. Entre ces figures, F'^ et F2, il y a donc homotaxie, même égalité (373, II), et Fg homotaxique à F'^ qui est antitaxique à F^ est antitaxique aussi à cette dernière.

408. Deux figures F, F' sont semblables, dans tout cas d'isomérie partielle entraînant leur égalité, soit directe, soit inverse, où l'on viendrait à remplacer, pour les segments de l'une donnés égaux à leurs homologues dans l'autre, cette condition d'égalité par celle de leur être simplement proportionnels.

En nommant p' le rapport uniforme des segments considérés dans F' à leurs homologues dans F, construisons une figure Fj directement homothétique à F et ayant avec elle le rapport de similitude p'. Les figures Fj, F' se trouvent dans un cas d'isomérie entraînant leur égalité, car les segments ou angles rectilignes et dièdres qui, dans F', sont supposés proportionnels ou égaux à leurs homologues dans F, sont évidemment tous égaux aux homologues de ces derniers dans Fj. Si cette égalité est

UTILITÉ PRATIQUE UICS I-IGUKIiS SI'.MHLABLKS. 205

directe, F directement semblable à F, l'est aussi à F' supcrposable à cette dernière. Si elle est inverse, on s'assurera bien facilement que F est inversement semblable à F'.

Par exemple, deux figures sont semblables quand tons leurs segments homologues sont proportionnels (373, III), et le lecteur pourra démontrer qu'e//es le sont encore, quand tous leurs angles sont égaux respectivement, même abstraction faite des dièdres.

En passant, on remarquera l'équivalence complète existant entre Véquiangularité de deux triangles et leur similitude. Deux triangles équiangles sont ellectivement égaux quand on remplace par l'égalité, la proportionnalité de leurs côtés homologues, et deux triangles semblables sont forcément équiangles.

409. L'utilité de la considération des figures semblables est extrême, dans la pratique plus encore peut-être qu'en théorie, car la possession d'un corps quelconque semblable à un autre équivaut (géométriquement) à la possession de celui-ci. Sur le premier elfectivement, on peut immédiatement mesurer les angles rectilignes et dièdres du second, apprécier le parallélisme ou la perpendicularité de ses droites et plans, apercevoir les relations topographiques de ses diverses parties, et, par de simples multiplications, calculer les longueurs, aires, volumes de celles-ci. Et même, quand la similitude est directe, la quasiidentité géométrique des deux corps saute infailliblement aux yeux de l'observateur le moins exercé, nonobstant la différence de leurs couleurs, de leurs dimensions, etc., cette propriété optique de la similitude directe ayant pour cause la faculté acquise par l'œil humain, de rapporter au même corps les images qu'il produit sur sa rétine à toutes les distances, et dont le seul caractère géométrique commun est une similitude directe presque rigoureuse.

Une figure directement semblable à un corps quelconque, en constitue donc un équivalent optique aussi bien que géométrique, et on peut en choisir la matière, les dimensions, de manière à le rendre peu coûteux, d'une durée indéfinie et très maniable.

L'ensemble des procédés à mettre en pratique pour confectionner ces équivalents, est la partie élémentaire des Arts du dessin, dont les règles fondamentales dérivent, en grande partie, de la combinaison du théorème précédent (408) avec ceux concernant la construction de figures égales (373, I et autres).

Le plus souvent, en topographie par exemple, la figure à représenter est plane et sa représentation, son plan comme on dit, s'exécute sur une épure.

410. On facilite la mesure des dimensions linéaires d'un objet quelconque, à faire indirectement sur un modèle, un plan, semblables, en adjoignant à celui-ci une échelle, unité de longueur

20G l-IGUHES HOMOÏHËTIQUES, FIGURES SEMBLABLES.

factice, avec ses multiples et sous-multiples, dont le rapport à l'unité véritable est égal au rapport de similitude du modèle à son original. En mesurant alors les longueurs du modèle avec l'échelle, on obtient les mêmes nombres exactement, que si l'on mesurait celles homologues de l'original, au moyen de l'unité de longueur véritable.

C'est pourquoi, dans la pratique, on nomme aussi échelle d'un modèle, d'un plan, son rapport de similitude avec son original. Pour rendre le modèle maniable, on prend son échelle <1, même minime, quand l'original a de grandes dimensions comme un terrain, un pays à lever, mais >1, même considérable, s'il s'agit d'un objet microscopique. Il faut ne pas oublier que l'échelle des aires est le carré de celle des longueurs, que celle des volumes est son cube.

Volume du tronc de pyramide.

411. Les bases pgrs, PQRS (fig. 101) d'un tronc de pyramide à bases parallèles (386), sont homothétiques par rapport au sommet O de l'angle solide dont elles sont des sections planes (404), et, en représentant par d, D, leurs distances OA', OK à ce sommet, leur rapport de similitude p est^drD, parce que k, K, pieds de ces distances, sont évidemment des points homologues. Ces observations conduisent au théorème suivant.

En appelant b, B, h, V les aires des bases, la hauteur Kk et lé volume PQRSpqrs du tronc, on a la formule

(1) y = ^{B-^i/Bb + b).

Le volume du tronc étant visiblement la différence entre ceux des pyramides OPQRS, Opqrs, on a (392)

puis

v = 1bd-

lbd = lBD-

Dp (

= lliD(l-f'

<) = 1bD(1-

-D?)(B-f Bp-f-Bp^),

foi-mule (1),

car Dp = d

= b, pu

d'où noire formule (1), car D? = d, Bp' = /), puis D — Dp = D-d=--h, Bp = l/B.Bp- = v/B6.

La décomposition d'un trapèze en une différence de deux triangles homolhétiqucs, ferait retrouver par la même voie la mesure de son aire (313).

FIGURES SYMÉrniQUES PAR RAPPORT A UN AXE. 207