CHAPITRE XUbis

Sijmêlric de dni.v fu/ures par rapport à une droite.

412. A côté (le l;i symétrie par rapport à un point, définie au Rf 406 et sur laciuelle nous n'aurons presque rien à ajouter, la Géométrie élémentaire permet encore d'étudier, entre les fii«ures, deux autres sortes de correspondances, point à point et univoques, qui ont des ressemblances avec celle-ci, portent le môme nom généri(|uc et sont des plus intéressantes. Toutes trois, même l'homothétie sous ses diverses formes, ne sont que des cas tout à fait restreints de l'homographie, correspondance générale univoque entre les points de deux figures, leurs droites aussi et leurs plans ; mais nous ne pouvons développer cette indication.

413. Deux figures F, F' sont symétriques par rapport à une droite donnée X, dite axe de symétrie, quand le segment mm' joignant un point quelconque m de la première à son liomologue ou symétrique m' dans la seconde, est toujours rencontrée en son point milieu O par l'axe, et cela perpendiculairement. De cette définition, découlent immédiatement les observations suivantes.

i. En considérant m comme appartenant à la seconde figure F', on retrouve tout aussi bien m' pour son homologue dans la première.

Fn d'autres termes, et comme dans l'égalité de deux figures superposées ou dans leur symétrie par rapport à un point, la symétrie par rapport à une droite est une relation réciproque, en ce sens que, par rapport à un même axe, toute figure est la symétrique de sa symétrique.

II. Chaque figure est égale à sa symétrique, se superposant à elle par un simple demi-tour exécuté autour de l'axe de symétrie, pris pour axe de rotation (199).

Car les segments rectilignes om, om' allant à deux points homologues, du pied o de l'axe sur la droite qui les joint, sont par définition égaux en longueur, mais opposés en direction dans le plan perpendiculaire en o à l'axe. Ce demi-tour fait donc pivoter chacun de ces segments dans ce plan et autour du

point o, cela de l'angle rectiligne neutre, et par suite l'applique sur l'autre (84, V), (173).

III. Réciproquement, une figure égale à une autre peut toujours être placée symétriquement à celle-ci par rapport à tout axe donné.

Pour cela, il suffit évidemment d'appliquer la première figure sur la seconde, puis de la faire tourner d'un demi-tour autour de l'axe donné.

IV. De l'égalité existant entre deux parties homologues quelconques de deux figures symétriques, il résulte immédiatement qu'une droite, un plan dans l'autre, ont toujours pour homologues une droite aussi et un plan dans l'une, qu'il y a égalité constante entre un assemblage quelconque de points, de droites, plans, parallèles ou perpendiculaires, et l'assemblage symétrique, en particulier entre les longueurs, les angles plans, dièdres, tricdres, les aires, volumes d'une figure, ... et leurs symétriques dans l'autre. (Le développement des définitions du no 269 permettrait d'établir tout ceci, même davantage, sans recourir à l'artifice procuré par l'alinéa II.)

414. Voici les relations de position existant entre les principaux éléments de deux figures symétriques.