I. Les seuls points doubles (402) sont ceux de l'axe

Les seules droites doubles sont l'axe et les droites qui lui sont perpendiculaires.

Les seuls plans doubles sont ceux qui passent par l'axe ou lui sont perpendiculaires.

1° Si un point m coïncide avec son symétrique m', il se confond aussi avec le milieu o du segment nul mm' ; or, o est sur l'axe par définition, et inversement tout point de l'axe est à lui-même son homologue.

2° Si quelque droite double contient un point m étranger à l'axe, elle contiendra forcément aussi le symétrique m' de m qui est distinct de lui ; elle se confond donc avec la droite mm' déterminée par ces deux points, et elle coïncide bien avec sa droite homologue, puisque à la fois, elle contient aussi m, o milieu du segment mm', et les homologues m', o de ces deux points.

3° Soient m un point pris sur un plan double, en dehors de l'axe, m' son homologue qui est sur le même plan, n un autre point de ce plan, étranger à la droite mm', et n' le symétrique de n, toujours sur le même plan double.

Si o, u, milieux des segments mm', nn', ne coïncident pas, le plan considéré contient l'axe, puisqu'il en contient ces deux points distincts, et inversement, on voit que tout plan passant par l'axe est homologue à lui-même, parce qu'il contient aussi le symétrique de tout point lui appartenant.

Si o, u coïncident en to, le plan considéré mnoym'n' est