DROITES, PLANS SYMÉTRIQUES PAR RAPPORT A UN AXE

perpendiculaire à l'axe, parce qu'il contient les droites distinctes momi', nom' qui lui sont toutes deux perpendiculaires. Inversement, tout plan perpendiculaire à l'axe est double, parce qu'il contient la ])erpendiculaire sur l'axe abaissée de l'un quelconque de ses points et, par suite, l'homologue de celui-ci (2">.

II. Soient D, D' deux droites symciriqiies distinctes, conçues dans des directions homologues. Si t'uiw d'elles et Vaxe -Ao sont dans un même plan, l'autre est aussi dans ce plan, et toutes deux sont les côtés d'une bande, ou d'un angle, dont l'axe est la bissectrice.

Sinon, toutes deux et l'axe sont perpendiculaires à une même droite en trois points distincts p, //, w, dont le dernier est le milieu de la distance des deux autres, et l'axe est dans le plan bissecteur du dièdre D/jwp'D'.

1" Quand D et d) sont dans un même plan, celui-ci est double, puisqu'il contient l'axe (I) ; il contient donc aussi D' homologue de D.

Si D, "Af> sont parallèles, leurs homologues D', Jj) le sont aussi (413, IV), et D, D' sont parallèles entre elles comme l'étant toutes deux à ch; en outre, les bandes rJloD, tXoD' sont égales comme homologues (Ibid.).

Si D rencontre d'. en /, ce i)oint i homologue à lui-même est forcément situé sur D' droite homologue à D, et les angles homologues t-loD, dD' sont encore égaux.

2° Quand D et X ne sont pas dans un même plan, soient p, 0) les pieds, sur l'une et l'autre, de leur perpendiculaire commune (104), etp' l'homologue de p, situé naturellement sur D'. La droite oj/j, double parce qu'elle est perpendiculaire à l'axe (I), contient p' homologue de son point p ; elle est perpendiculaire à D' aussi, puisque, les figures symétriques Dpw, D'p'oj sont égales, et «j, pied de l'axe sur le segment pp', dont les extrémités sont homologues, est son milieu. L'axe -l> est dans le bissecteur du dièdre DpMp'D', parce que les dièdres Dpco^l), D'p'mÂo sont homologues, égaux par suite.

Quand D est orthogonale à d, le plan wD est perpendiculaire à cet axe, partant double, et D' située sur lui est parallèle à D, comme perpendiculaire aussi à la droite p^p' . Sinon, D et D' ne sont pas dans un même plan.

III. Deux plans symétriques distincts P, P' sont les faces, tantôt d'un mur, tantôt d'un dièdre ayant son arête perpendiculaire sur l'axe, et dans les deux cas, un plan bissecteur de cet assemblage PP' passe par l'a.re.

1° Si P est parallèle à l'axe, son parallèle 12 mené par cette droite est double, partant parallèle aussi à P' homologue de P ; P, P', tous deux parallèles à 12, le sont donc mutuellement, et 12 est le bissecteur du mur PP', parce que les murs 12P, i2P', à faces respectivement homologues, sont égaux (413, IV).

2° Si P coupe l'axe en quelque point a forcément double, il a ce point a commun avec P', coupe ainsi ce dernier plan en une droite IT qui est double ; car FI étant située sur P, P' à la fois, son homologue doit l'être sur P', P simultanément aussi, c'està-dire se confondre avec elle. En outre, elle est distincte de l'axe, car autrement, P, P' qui la contiennent se confondraient (I), ce qui est contraire à l'hypothèse. Elle lui est donc perpendiculaire, et, comme le plan <> mené par elle et l'axe est double, les dièdres HP, HP' sont égaux,

415. Quand deux figures situées dans un même plan P, mais distinctes, sont sjaiiétriques par rapport à une droite -A,, elles le sont aussi par rapport, soit à quelque point O de ce plan, soit à quelque plan 'i* perpendiculaire à celui-ci (416, inf.). Car le plan P, évidemment double dans la symétrie donnée, est perpendicuhiire à l'axe A,, ou bien le contient. Dans le premier cas, O pied de cet axe est un centre de symétrie; dans le second, le plan 'P mené par A, perpendiculairement à P est un plan de symétrie.

Dans ce dernier cas, on constatera bien facilement, que de telles figures sont toujours en antitaxie (plane) (218), disposition n'empêchant pas chacune de s'appli([uer sur l'autre par un demi-tour exécuté autour de l'axe A (413, II).

Les réciproques sont évidentes, ainsi que des propositions analogues pour deux figures qui seraient sur une même droite.

Symétrie de deux figures par rapport à un plan.

416. Deux figures sont symétriques par rapport ci un plan dit plan de symétrie, quand leur correspondance consiste en ce que le segment qui a pour extrémités deux points homologues quelconques, est toujours coupé en son point milieu et perpendiculairement, par le plan de symétrie.

Ce troisième genre de sjmétrie, qui est évidemment réciproque, comme les deux précédents (406), (413), est particulièrement intéressant et très fréquent dans la nature. Par exemple, un corps lumineux quelconque et son image sur une eau tranquille, sont symétriques par rapport au plan de ce miroir.

Les principes des n^s 274 et suivants permettraient d'en faire sans difficulté une étude directe, mais la proposition suivante apporte à cette étude des simplifications aussi grandes que celles trouvées pour la théorie précédente, dans l'observation II du n« 413.

CONNEXITIÎ DES TUOIS SOUTES DE SYMÉTHIE. 211

417. Six, (P, O désignent une droite et un plan mulaellemeni perpendiculaires et le pied de Fnn sur l'antre, puis F', F", deux figures respectivement symétriques à une même autre F par rapport ù deux quelconques de ces trois objets, ces figures F', F" le sont mutuellement aussi par rapport au troisième (406), (413), <^416).

Par exemple, supposons F', F" symétriciues à F par rapport au plan 'P et à la droite X, respectivement ; puis, soient m', m" les points de ces figures qui sont les symétriques de ces deux manières à un même point quelconque m de F, et o', o" les milieux des segments mm' mm", situés sur (? et X.

La droite X est située dans le plan mm'm", parce qu'elle passe par quelque point o" de ce plan, parallèlement à la droite mm' du même plan, perpendiculaire comme elle au plan 'i.\ La trace p {fig. 102) du plan mm'm" sur le plan de symétrie 'J? est parallèle à mm", parce que toutes deux sont dans un même plan, perpendiculaires sur une même droite -JU. Ces droites p>, X, menées ainsi par les milieux o' , o" de chacun des côtés mm' , mm" du triangle mm'm" parallèlement à l'autre, passent donc toutes deux par le milieu du troisième côté m'm" (146), et leur intersection O n'est autre chose ainsi, que le milieu encore de ce troisième côté, d'où la symétrie mutuelle des points m' m" par rapport au centre 0.

La démonstration des deux autres faits affirmés par ce théorème, se fait tout aussi facilement par tel ou tel renversement de celle-ci. {Cf. 420, inf.)

418. Les observations suivantes sont maintenant bien faciles. L Deux figures F, F', symétriques par rapport à un plan 1*, sont

inversement égales.

Car la symétrique F" de F par rapport à un axe perpendiculaire au plan *J?, est symétrique à F' par rapport au pied 0 de cette perpendiculaire (417). Et les figures F, F' toutes deux égales à F", la première directement (413, II), la seconde inversement (406), le sont inversement l'une à l'autre (373, II).

II. Réciproquement, deux figures inversement égales peuvent être mises en symétrie par rapport à un plan.

Pour cela, il suffit effectivement de les placer en homothétie inverse (406), puis d'imprimer à l'une un demi-tour autour d'une droite quelconque passant par leur centre de symétrie. Elles deviennent alors symétriques par rapport au plan élevé par ce centre perpendiculairement à l'axe de rotation (417).

III. L'égalité inverse existant entre deux figures symétriques par rapport à un plan (I), leur confère immédiatement toutes les propriétés consignées au /j» 413, IV pour celles dont la symétrie s'établit par rapport à une droite, à cela près que, pour des parties homologues non planes (mais sauf les dièdres), l'égalité proprement dite est remplacée par l'isomérie antitaxique (406).

En particulier, deux figures de ce genre sont bien superposahles quand elles sont planes {ou rectilignes), (373, IV), mais autrement elles ne le sont jamais.