Nous passons aux relations de position

I. Dans deux figures symétriques par rapport à un plan, les seuls points doubles (402) sont ceux de ce plan de symétrie.

Les seules droites doubles sont celles de ce plan et les perpendiculaires à celui-ci.

Les seuls plans doubles sont le plan de symétrie et ceux qui lui sont perpendiculaires.

1° Comme au n" 414 (I, lo).

2° Si une droite contient quelque point m étranger au plan de symétrie, et si elle est double, elle contiendra aussi m' le symétrique de m et distinct de lui ; elle se confondra donc avec la droite mm' déterminée par ces deux points, qui, par définition, est perpendiculaire au plan de symétrie. Dautre part, toute perpendiculaire à ce plan est évidemment une droite double.

3" Sur un plan double ne se confondant pas avec le plan de symétrie, prenons un point m étranger au plan de symétrie. Comme ce plan double contient aussi l'homologue m' de m, ne se confondant pas avec lui, il passe par la droite mm' perpendiculaire au plan de symétrie. Il est donc perpendiculaire à ce dernier, dont tous les plans perpendiculaires sont évidemment doubles aussi.

II. Deux droites symétriques D, D', distinctes et conçues dans des directions homologues, sont les côtés d'une bande ou d'un angle, sur les plans desquels le plan de symétrie est perpendiculaire et trace leur bissectrice.

Car ces droites sont évidemment symétriques aussi, par rapport à la projection orthogonale de l'une sur le plan de symétrie (414, II).

III. Deux plans symétriques {distincts) P, P' sont les faces d'un mur ou d'un angle dièdre, ayant le plan de symétrie 'P pour plan bissecteur.

La figure <rP est inversement égale à ^PP', parce que ^S est un plan double, et que P, P' sont des plans homologues; si donc la première est un mur, la seconde en est un autre d'égale épaisseur, dont la seconde face parallèle à ^S, l'est aussi à son parallèle P.

Si 'PP est un dièdre, son arête II qui est une droite double (I) est située sur P', plan homologue de P, et se confond ainsi avec celle du dièdre PP'. Celui-ci a 'P pour plan bissecteur, parce que les dièdres "PP, 'PP' sont égaux comme homologues dans deux figures inversement égales.