Au théorème du n" 417, on peut ajouter d'autres

FIG. DOUÉES n'UX CKNTUE, AXE, OU PLAN DE SYMÉTHIE. 213

propositions du lucinc genre, que le lecteur {léniontrera sans diiïiculté.

I. Deux figures symétriques à une même autre par rapport aux faces d'un dièdre droit, le sont nuiluelleinent par rapport à son arête.

II. Deux figures symétricpies à une même autre par rapport à deux arêtes d'un triédre trircctangle, le sont mutuellement par rapport à la troisième.

Etc.

Symétrie absolue d'une figure.

421. Une figure est symétrique par rapport, soit à un point, soit à une droite, soit « un plan, quand ses points s'associent en couples composés chacun de deux points mutuellement sj'métriques par rapport, soit au point (406), soit à la droite (413), soit au plan en question (416). Ces derniers objets se nomment alors le centre, Vaxe ou le plan de symétrie de la figure considérée.

Par exemple, la réunion mentale de deux figures mutuellement sj^métriques de telle ou telle manière, en fournit une qui est douée évidemment de la symétrie absolue de même nom.

La sj'métrie absolue du troisième genre est particulièrement intéressante par les exemples que la nature nous en présente dans une foule de corps inanimés, même d'êtres vivants.

422. Une figure douée d'un axe de symétrie est égale à ellemême d'une autre manière (6).

Une figure douée d'un centre ou d'un plan de symétrie est inversement égale à elle-même (406), (418).

Nous voulons dire, qu'en nommant associés deux points de la figure qui sont homologues dans la S3métrie supposée, la figure partielle formée par des points quelconques est toujours égale à celle formée par leurs associés, ceci directement dans le premier cas, inversement dans le second (rien ne s'opposant d'ailleurs à l'existence de points, droites, plans doubles, c'est-à-dire se confondant avec leur associes).

Ces observations rapprochent les uns des autres, bien des faits particuliers dont nous avons rencontré plusieurs isolément. Tels sont ceux-ci.

Un segment rectiligne est égal à lui-même d'une seconde manière. Il admet efi"ectivement pour axe de symétrie, toute perpendiculaire élevée sur lui en son milieu.

Et de même, pour un angle rectiligne ou dièdre [saillant]. Ici, l'axe de symétrie est la bissectrice, ou toute perpendiculaire à l'axe, élevée dans le plan bissecteur.

Un trièdre isoscéle est inversement égal à lui-même. Car il a

pour plan de symétrie, le bissecteur de son angle compris entre les faces égales.

Etc.

Les réciproques ont lieu dans les conditions suivantes.

423. Si les points d'une figure peuvent être associés par paires telles, que la figure partielle formée par un groupe quelconque de ses points soit toujours égale à celle formée par le groupe des associés de ceux-ci, et si, dans l'une au moins de ces paires, les associés a, a' sont distincts, cette figure admet un axe de symétrie.

Le point milieu a du segment aa' se confond avec son associé a, parce que les figures wxa', a'<x'a doivent être superposables.

Soient ensuite b un point de la figure, non situé sur la droite aa', puis b' son associé, et /3 le milieu du segment bb', se confondant avec son associé, de même que a tout de suite. Gomme a,3 = o',5, puisque a, /3 ont a', fi pour associés, fi est, soit étranger à la droite aa' , soit identique à a milieu du segment aa' .

Dans le premier cas, ces deux points déterminent une droite a/3 sur laquelle ne se trouvent ni a, ni a' , et qui est perpendiculaire en a sur aa' ; car les triangles aoifi, a'oifi étant associés, partant égaux, leurs angles en a sont égaux, d'ailleurs opposés par leur côté commun a,3. Soient alors m un point quelconque de la figure, m' son associé, et nj, son symétrique par rapport à l'axe a/3. Les figures m'a'j.fi, m^a'oifi, toutes deux égales à ma-xfi, la première parce qu'elle lui est associée, la seconde parce qu'elle lui est symétrique par rapport à la droite afi, sont égales l'une à l'autre; mais les trois points a', a, fi, non en ligne droite dans la première, coïncident avec leurs homologues a', a, fi dans la seconde, donc (34) m, aussi coïncide avec m' ; en d'autres termes, deux points associés sont toujours symétriques par rapport à la droite a.fi.

Quand fi se confond avec a, les droites aa', bb' concourent en a, mais restent forcément distinctes. Sur le plan qu'elles déterminent, on élèvera alors, en a, une perpendiculaire dont tout point Y coïncidera, comme a, avec son associé, et on raisonnera comme tout à l'heure, après avoir choisi ce nouveau point double distinct de a.

424. 5/, dans l'énoncé précédent, on remplace l'égalité (directe) de deux groupes de points respectivement associés, par leur égalité inverse, la figure possède, non un axe, mais tantôt un centre, tantôt un plan de symétrie.

De même que ci-dessus (423), le milieu a de ce segment aa' est lui-même son associé, comme l'est celui fi de tout autre analogue bb', et, en prenant b en dehors de la droite aa', fi se confondra