KK
^^^-^'fZ'SZ^''^- /'-'''->
etc.
on a donc
tt-j-Du — ti -|-J«i-f- j~ ^'11 -f- etc. 4- R'^.
l^Rem. Si dans les premiers membres des équations (il) on remplace u par l'intégrale définie , on obtient les relations suivantes :
fwdx^r^Vdx,
^^ fWdx^ r^*\dx,
etc.,
qui renferment la règle relative à réchange des notations <;' et y*; c'est une de celles qu'on emploie le plus souvent dans le calcul des variations.
2* Rem* Si V était une fonction de x et de y, et d'autres variables dépendatiles de celles-ci^ on trouverait, en raisonnant comme cL dessus :
V + DV—V+'V+eic.
du calcul des variations. 29
etc.
Donc y si Ton donne
a fi
u— / / Vdxdy, a b
on aura
« fi
a fi
+ Dtt=: A y (V+DV)djdtf
d'où:
a fi
a b Mettons pour u sa valeur ^ il vient
a fi a fi
if r Wdxdy^ f r iW^dxdy, a b a b
ce qui est le principe d'inversion ci-dessus ^ appliqué aux intégrales doubles.
3* Rtm. Il est évident que les déductions ci-dessus s'étendent fa» cilement aux intégrales multiples à limites constantes.
30 Nouveaux Etémmis
l** Exemple.
y i\i dz
Soient V« K l+p« + g», P^ Tx' ' "^ cte ' *^*
u^f\dx,
a on aura :
r^Ydx
« /r£.. ^ 4.1. *fidx y '•V <fa + V dx J***'
2""" Exemple.
Soient V « ^^TTFfY, ^-(S>^?-(|).
u^ j 1 Vdxdy ,
a h on aura :
^u^^f fwdxdy a b
a fi
a fi
du calcul des variations. 31
Deuxième Problême.
Etant donnée la fonction
dans laquelle x est l'élément constant , sî Von donM
P'^ fydx, q ^ r wdx ,
y, V, W étant regardés comme des fonctions dex ^ on demande de trouver ^u»
Solution^
En raisonnant comme dans le problème précédent , on trouve aisément
tf-f-DM«-|r(«, y+Dy, p + Dp, 9+D4), et par suite
FaNt:tI01«S SIMULTANÉES,
Prc^lème.
Etant donnée la fonction
dans laquelle les variables x, y, z doivent satisfaire à V équation de condition
trouver *u ; x est regardé comme f élément constant , y «t x sont des fonctions de x.
Solution.
Première Méthode. Les équations l)et 2) donnent:
y du . I / ^" A
En éliminant sy , on trouve r
^ ,du ^ ^d^ ^ .du . .dç ^ . d^
Deuxième Méthode.
11 est souvent avantageux d'éliminer par la méthode des multiplicateurs, A cet effet , multiplions Téqualion (2 par un facteur A ^ regardé com me constant , alors lesfleux équations proposées pourront être remplacées par Téquation unique
et l'on en déduira :
Pour éliminer maintenant sy, il suffira de supposer à Tindéterminée A une valeur telle , que l'on ait :
dy ^ dy ^ En substituant cette valeur dans l'équailon restante
du ^f<^?.
on trouvera le même résultat que ci-dessus.
Cette méthode , adoptée par Lagrange, et qui s*appTique & un nombre quelconque d'équations simultanées ^ n*est au foiid , que la méthode d'élimination de Bézout.
du caieul des^vartations. 53
Exemple*
-y dy dz
#(x, y, ^)= 0, on aura :
p dsy q d^z , ^. d^ . . w ^'^ .
Les deux premiers termes du second membre de cette formule
peuvent se mettre sous une forme telle, que les différentielles
d^fj d z
—- y — disparaissent , et que les résultats ne laissent plus sub-
sister que les variations 'y, *z. En effet , on a :
dx u d» dx
dx u dx dx
on tire de celles-ci :
— • -— sts ————— — . •y >
n ox oâ? cLx
9 d^js '^ u. " u
u dx dx dx
En substituant ces résultats dans Texpression ci-dessus de 9u, on trouve y en ordonnant :
Eliminons ^z ; pour cela posons
Hi)-îï--''.
ou
rf(i)
il vient :
dit) dit)
d[t9y+î..,z] -ÎL.^')-- -^.(^)
^ u ^ u ^ dx ^dy' dx ^ dz '
dx do .
Le facteur Sz , subsistant dans le premier terme de ce résultat , doit être éliminé directement par Femploi de l'équation f[Xf y, z) — ,qui donne :
d'où :
On a donc finalement :
^„ d ) u dz u dy .
dx \ t ^ \
{ ^dz^
dit) d(^) ^
^ u' ^d? u df
dx dy dx dz
^ dz ^ Rem. Si Ton fesait
on trouverait
du calcul des variations. 3S
dy
P =.£f « ^^ ^^ ds=udx' Il tt udx ai
dz q dx dz dz
Xi u udx ds
et Texpression ci-dessus se changerait en :
dy ,/ ^
) \ dx z dx J
dxl^ds z ds ^ ^ ^ ' -'^ '^ ^o. 1 ^
Soit maintenant
tt'— r dx y l +p>4-g»
a on aura :
^u' «- I ^u • dx.
a En substituant ici la valeur de Su , que donne la formule [(S) on aura , dans les conditions de cette formule:
r é^U'dx^ r 3 y \ +?• + q'^^dx
ds Z ds « a d5 5; d«
' dx ;5 dx * ^
Les S précédents renferment les règles pour former les varia^tions simples, nous allons donner celles qui se rapportent aux variations composées.
FORMATION DES VARIAtlGUIS COMPOSÉES.
Nons examinerons consécutivement les cas des fonctions a variables primitives , de celles qui renferment des dérivées , et enfin les fonctions dans lesquelles entrent des intégrales définies.
