FONCTIONS RENFERMANT DES DÉRIVÉES
Premier Problême.
Etant donnée la fonction
^'^dô^' dans laquelle x est l'élément constant , trouver
^Py ^P, etc., y étant une fonction de x.
Solution.
On â par définifton :
d" {y +^y 4- jTj ^y +«tc. + R.)
«te™ mais oa a :
De plus 9 V étant une fonction arbitraire (k^réléin<çat constant oc, on devra regarder les facteurs ly , 9* , etc. , comme constants, ce qui donnera
d°^y ^ ^djç' ^'^'^y ^
etc.
On a donc :
p^up - ^^__, + ^p^ . ^^ .j___ , ^. etc. +R..
Mais les varfations première, seconde, etc., dtp, étant les termes en y, tj*, etc. da dévektppemeat ie p-^ Dp , onsa
etc.
Si nous mettons , dans les premiers membres de ces équations ,
d"y à la place de p sa valeur --r-;^ ^ on a les relations
dn calcul des varîatit)ns, 23
etc.
Pour w —i 1, 2, etc. , on a :
^ dy d^y ^ (fc tfJ'V ^ -^ s=s — ^ ^ -^ sa '^r etc.
dx dx ^ dx (te* '
d'y d^Sy d'y d^yy
1 Rem. Les formules (9) renferment le principe relatif à réchange des caractéristiques d et /^ c'est un des principes les plus employés dans le calcul des variations.
2 Rem. Le développement ci-dessus de p-f-Dp , en y introduisant les variations /p, etc., pourra s'écrire aussi de cette manière :
p-fDp— P+JÎP+ — *•/>-^ctc. +R'«.
Deuxième Problème.
Etant donnée la fonction
dans laquelle x est l'élément constant , et
dy d'y
^^di' ' "" dx» ' trouver
9uy S^u, etc.
en supposani que y^ donc aussi p et q soient des fonctions dex , et par conséquent les éléments variables.
Solution.
On a par définition :
M+ Dt« =» /(x, y -I- Djr, p+Dp, q + Dq)
î^jE ]+etc.+ R.
=« + [ ( ^ ) (*i/ + ete.) + ( ^p ) (*P + «'«• > +
(— ) («^g + elcO] + elc.+R.
= «+[(-)^y + (^)ïp+(~)^«]+ete. +R.
mais 2/1 p^ q étant des fonctions de x ^ on a :
dy dp. dg
donc
„+D«-«+[(-)-+(-)^ + (-)>+etc.+R..
On a done
^ . du. dy , , du .dp , , du dq ^
^dy^ ^^^ dp ' dx^ ^dq ^ dx' , du . . rfw , dJtf , , du . d'J'u
Rem. En différenltanl u = f{xyi/, z, p, ç), oc étant constant, en a :
donc en changeant d en S , on convertit la différentielle en sa variation iu.
l** Exemple.
Soient V««K l+p', p«a — , on aura r
du calcul des variations, ÎS
2"** Exemple.
dy dz
Soient V «- |/ l+p'+9* , P '^ ^ ' '**J" ' ^" ^"''^ ^
dV dV
Troisième Problème.
Etant donnée la fonction
dans laquelle x et y sont les éléments constant , trouver 9u ;
on donne^
.dz . .dz
et z, p, q tant regardés comme des fonction» d& x et de y.
On a par définition :
„ 4- Du ^({x, y , a+ D«,p+ Dp, g + Dg)
-« + [t^)('*4-etc.) + (^)('P + etc.) +
( T-) (^g-Helc.>] + e(c. + R«
Mais 2, p, 9 étant des fonctions de x et de y, on a
r ,dz ^ dz ^
donc :
. du dz du.^dp. , ^du^,dq , , ^
+ etc.+ R, ;
mais les variations première , seconde , etc., de u sont les termes en 9f , i/% etc., du développement de «-H Dw, on a donc
( . dw dz . - / rfw . ^ dp ^ / dw ^ , dQ . 1^ . dw , rdu . , .du .
,du . ^ , ,du ^ , dz . du. ,dz ^ -^^Tz^'^-^^^'^Tx^^^di^'^d-y^
Bem. En dififérentitinl « =-/■(«, y, jz, p, q}, x et y étant regardés comme constants , on a :
donc en changeant d en ^, oa obtiendra eu.
Exemple,
Soient V=Kl4-p'-i- g', p-.(^), ç = (^),ona:
dti calcul det variations.
t^.^i'^)Hrr=^=â=^Ht)
~ V ^ dx '' "*■ V ^ d? ^'
Fonctions qui renferment des Intégrales définies.
PaEMiEa Probléhe.
Etant donnée la fonction
a dans laquelle x est l'élément constant, V étant une fonction de x, y, etc., trouver
iu f é^u y etc. ; y , etc. , sont regardés commq, des fonctiom ^ î. Solution.
On a par déGnition :
u + Du^f (V + DV)rfar.
Or , V est évidemment une fonction de x , telle que V — /« , on a donc
V+DV-.A(x+.)«.V+^.+±0.- + eCc. + R..
et par suite
on a donc aussi :
p dV i d*V
98 ^xmveaiix Eléments
Mais if étant une fonction arbitraire de l'élément constant x, Texpression ci-dessus devient :
£t ce a '
+ etc. + R'm.
Or, les variations première^ seconde , etc. , de u» étant les termes en ^, vi% etc. , du développement de ti -f- Du, il vient :
A et tt
dV . rdW
/dv roy r
