FONCTIONS A VARIABLES PRIMITIVES
Premier Problème.
Etaht donnée la fonction
dans laquelle x est l'élément constant , et y une fonction de x , trou * ver les variations composées du premier^ second , etc. , ordre de z' savoir :
yZf è'^Zy etc.
Solution.
On a par définition :
z + D'z-/^(x, y4-Dî/)+D/^(a?, y + Dy). Mais , par les § précédents , on a généralement :
f-^ Df^f^^f+ — 5f 4-eie. ; on a donc :
z + D'z « f(x, y + Dy) + Jf(x, y^Dy)+ 1^^ J*f(x, y
+ Dy) + etc. + R«.
Si nous développons la fonction /(x, y 4- Dy) par la formule de Taylor, il vient:
dz \
+ etc. ] -j- etc. + B«.
Mais on a aussi :
du calcul des variations. 37
donc
-p c(c. )* 4- clc.
-^clc. ) + elc. + ft«
Mais on a :
d(—) . dz dy ^'dz dy
dz 1 r • rf'^ % .> dv dy ,dz. d*v l*2'-^da:*^^ da; dx^^dy^dx^ ^
, d*z . dw* - . , ^
Or, on a :
rfz .dz dz dy
rfx» ^^ <te» '^ ^ dydx ^ dx^^dy^ dx* ^ ^ uy' ' dx* ' etc.
Donc
Mais les varialioos composées première» seconde , etc. y sont le» termes en j/, j/*, elc, du développement de z-f-D^z i on a donc :
dx
dx» '
cf^z dz d'z
etc.
On a donc finalement aussi
z^I)'z = z + ^z+-—r ^'«z + etc. 4- R'..
Deuxième Problème.
Etant donnée la fonction
dans laquelle z est une fonction dex et de y , ety une fonction de l'élément constant x, trouver la variation composée première de u, savoir ïu*
On a d'abord, en regardant x et y comme constants , et en supposant z = ? (x, y) :
z+Bz « ?(x,y) + D?(z,y).
Donc, quand j/ devient 2/ -j-Dy, dans cette expression , js deviendra z + D'z y et par conséquent la déformation composée de u sera exprimée par
du calcul des variations. 39
ti + D'ti — ^(x, y+By, z-f D'z)+D/'(x, y+Dy, z + D'z). Mais comme on a , par les § précédents ,
r+D/^-f+^Z+etc, on aura :
u+Wu^fix, y+Dy, z+jyz)+»f(x, y+Dy, z+D'zj+etc.+R..
Développons la foncUon /"(x, y+Dy, z-f-D'x) par la formule de Taylor , il vient :
u+D'u = w+(^)Dy -f ( £)Dfz+ etc. + j [ti + etc. ]
Mais on a :
+ etc. + Rn,
Dy — Jy +-^'y4.elc.
D'z — yz+ — . ^'«z+ etc. ;
donc
«+ D'«- « + (|^)py+etc.) + (-g ) cy^ + etc. )
+ iftt -J- etc. 4- R,
d'où l'on conclut , comme dans le problème précédent :
Si l'on veut exprimer 3'u en fonction de 9u, jy, ^z^ il faudra substituer dans la formule précédente à la place de i'z sa valeur que donne le problème précédent , et alors on a :
du ^ du dz
Désignons la dérivée partielle de u par rapport kyeiz^z étant fonction de y , par
du ^u ^ du^ dz ,
on aura finalement
^ dz ' d^
Troisième f ROBLèsne:.
Etant données les deux fondions
si l'on suppose Z'-c, et que la déformée composée z+-D'z coïncide avec la déformée simple c-j-Dc , trouver ^z en fonction de ^c, et par suite gi en fonction de ^y^
Solution»
On a par hypothèse :
z+D'z = c+I>c, j?=3C, donc jyz=Dc;
Mais on a
donc
d'où:
3'z~~$z + {^)ty (12')
de .
r fdz dz dy de
OU
On a ensuite :
du calcul des variations. 41
*f * , / d^ V . , de de dy de
dy dx dy dx dy
dODC
d'où i
, . dz , de
(2) Fonc/foii5 ftit renferment dès dérivées.
Premier Problêmb.
Etant donnée la fonction
dans laquelle z est une fonction de x et de y, et y une fonction de télément constant x , trouver les variations composées première seconde ,.- etc. j de p y savoir
^% ^''p, etc.
Solution,
Oa a d'abord :
"^ cfo» "*" «te» ■'"1.2 dx" "*"*'*'" Mais on a
de piqs if est une fonction arbitraire de l'élément constant x, et par conséquent constant , on a donc :
d'où:
Rem.
Mettons dans les premiers membres
de
ces
derniers
pour
sa valeur y
il viendra :
dx" '
^fa
dx" dx" etc.
L'on voit par ces résultats que le principe de l'échange des caractéristiques * et d subsiste aussi entre ^' et d.
Deuxième Problème.
Etant donnée la fonction
y=f{Xyy,z,p,q), dans laquelle z, p, q sont des fonctions de x et de y, et y une fonction | de télément constant x , trouver *' V, sachant que Von a
dz ^ , dz ^
Solution, On a par définition :
V4-D'V«/-(x, y + Dy, z + D% p +D'p, g+D'g)+
Donc j à cause de la formule
/^+D/-«r+^A+etc., on a :
dV
