C --)D'g + ^[V+etc.] + elc

dq

du calcul des variations. 45

Donc enfin :

^V dV dV dV

(3) Fonctions qui renferment des Intégrales définies.

Premier Problème.

Etant donnée l'expression

dans laquelle V est une fonction de x et de y, et y une fonction de Vêlement constant x, en supposant quejo et y. soient aussi des fonctions de x, qui se déforment en même temps que y , on demande de trouver les variations composées i^u, i'*Uy etc.

Solution.

On a d'abord ;

Vf

Mais on a :

' V = T- • y * <!'•¥-.—;•. y', etc. ; dx dx"

de plus y jy étant fonction de Télément constant x, doit être regardé comme constant , on a donc :

/r dS 1 /'d'V

d'où :

yo tfo

-lit/ » i

ïo y.

etc.

i '* Hem. Remplaçons u par sa valeur , on a :

yt yt

Vo y.

i^'Jydy^ J i'-ydy ,

yo y«

etc.

Donc 9 le principe pour l'échange des notations i ti / subsiste pour i' et /.

2* Rem. Si l'on veut exprimer *'w en ^fonction de *V > off devra recourir à la relation

dV

de laquelle on déduit :

/ 4>Wdy « ftWdy + /( ^)%,*y.

Comme 9y est une fonction arbitraire de l'élément constant a; i il est clair que cette quantité doit être regardée comme un facteur constant dans Tintëgralion par rapport à y, on a donc

et par suite

On a donc enfin :

du caltul d4fs variations, i^

^'w — f ^'Vdy - V,.dy - V,,ay. + f '^Vdy. (1 S)

Dans les § précédents se trouvent exposés les principes les plus essentiels pour la formation des variations pt^re^ , nous allons présentement passfer aux variations mtâ?/e5.