FORMATION DES VARIATIONS MIXTES
Fondions composées de variables primitives.
PiTEMi^ Problème.
Etant donnée la fonction
dans laquelle x est la variable indépendante , trouver les variations mixtes premières, secondes, etc., dey , savoir
9ty>^j% etc.
Solution,
Soient i^t^tf^dx, jy^' = (y{- (fc)«, etc.; cela posé, nous nommerons variations mixtes du vpremier, decond, 6tc., ordre, les termes en ly, , if,' , etc. , du développement de la ééformée mixte.
Or, on a :
y+l),y'^f[x + dx)'i-I)f(ùcr\-Jlx)^f{x + dx+.tf)^fix+ff:). Si donc on développe la fonction
on obtient :
y + D.y-y+ I „,+ J- ;-£%A+ctc. + R.. On a donc
dx
dx ax'
etc.
Par là , la formule ci-dessus , peut s'écrire :
»+D.y« 2/ +*.!/+ —^ *.'y + etc. + R..
Deuxième Problème.
Etant données les fonctions
en supposant
exprimer *,y, '.'y, etc. , en fonction de dx, dx*, etc., et ^y en fonction de dx.
Solution.
On a par hypothèse :
y + D,y«ê(x+dx), donc aussi :
,+ |(,+d.)+i^g(,+^).+etc.-
^ , db , , 1 d'6 ^ , , .
6A- -r-ax 4- r—r- -7-T ux' 4-tlc.
ou :
„ + ^(I.+l)da:4-— ??(•?- -f-1)'da;» + etc. =»
Comme on a y = 6, on aura, en divisant par dx , puis en fesant dx'^O :
on aura de même
dx dx dx *
dx^^dx^ ^ dx»'
etc.
On conclut de là :
dy . ^ db db
£CH-^dx)==-dx, ou *.!/-^d«;
1 " Rem. Comme on a :
'^y-'y-^dx^'^'
la première des formules (18) donnera :
dv . ^ ,
^W+ -f-dx = rr-dx ,
^ ^ dx dx
d'où :
2» Hew. En géométrie, y—ya; est une ligne a5 , et 6=sfx une ligne cd; soient OP==x, aP = î/ = i&; quand aô se déforme, et devient a'!/ , alors y devient
PN = y(x+ïf).
Si dans cette courbe a'6', x devient x+PQ"*»x+dx, on obtient la déformée mixte
M' Q «<p (x + dX + ï/)=::y + J)^y.
Mais si dans la courbe cd, ouô — Çx, dans laquelle on a 6 = aP « y, on change x, ou OP , en x+VQ = x + dx,Qn obtient
M'Q = |(x + dx),
on a donc
y+D,2/='§(a:4-dx).
tô. Nouveaux Eléments
Troisième Problème.
EtMnt donnée la fonction
u =*/(x, y) , dans laquelle x et j sont les variables indépendantes ^ trouver
Solution^ On a :
Développons la fonction f(x + dx^î/+ dy)^ nous aurons :. tt + D,w=«tt+( — >dx+(— ) dy + etc. +
* [tt^etc. ] 4- etc.
Donc ,. en ordonnant , on a :
du du
w+Dxii=»tt + [(T^Xcfc»+ (— )3v+^] + etc.
Mais on a :
On a donc :
es du -rf- *W-
Si nous posons, pour abréger,
if + d:fsm>Hi9 v + dy— f/>
nous aurons également :
du calcul (les variations, 49
du du
(^^ ),/«]+ etc.
Or , les vapîalions mixtes du premier,, dit second , etc. , ordre des fonctions de deux variables, sont respectivement les termes du premier , du second , etc. , ordre en j/^ el if ,' ,. o» a donc :
^ .du, , . du^ ,.
^.u^i-y^ + i^yWr
etc.
Donc :
te + D,w =w + (T.M -{- ;j--- ^,^u -[- etc. -{- R^^
Quatrième Problème* Etant donnée la fonction
dans laquelle y est une fonction de l'élément consiœnt t y trouver h variation mixte composée ^i^u^
Si dans la déformée composée
on change x en x + dac , et par conséquent y + Dy en y + ^iVr ^^ obtient la déformée composée mixte , savoir :
u + B^'u^fix+dx, y+ D,y) + Df(x+dx, y+D,y)
-='f{x-tdx,y+D,y) + ^fix+dx,y+D,y) + etc.
= w +( ^ )(îx + (^)D,2/+etc.+*[w+etc.]+elc.
Mais on a
D,j/ = ^,y + j-^ ^^y + etc. ;
donc
du du
u-f-D/w«= u+ ( -- )dx-|-( r-) [<^iy + etc. ]+ etc. + ^[w
-{- etc. ] 4- etc.
En ordonnant on a :
Mais on a trouvé i
du
donc
n+D/te-u + [ *w + (-^ ) I iy + ^ dx } +(g)(iar] +et(r.
» r 1 .^^\ , I £ .du. ,du . du y «u+[*t^+(-)*y+{(^)+(5-)-^}dx]+etc.
«:U+[^tt-^(^)*t/4-£da]+etc.
«=« t« + 1 ^^w + T dx J + etc.
^ dx
= w+^(^+diK)-hetc.
' dx '
Donc
^, du
«s ^'tt 4- --- dx dx
dw = *tt+(^)«'(/+d«, (20)
du calcul des variations. ^l
Cinquième Problème.
Etant donnée la fonction
dans laquelle z est une fonction de x et de y, et y une fonction de l'élément constant x, trouver la variation ^tU,
Solution.
On a :
u + D/u^f(x + dx, y+D,y, z+D.'z)+D/{ar+(fe, y +
En développant par la formule on a :
^ [ w + etc. ] + etc. , , du . , . du ^ r . « . -11
( j- ) [ ^/z + tic. ] + *w + etc.
dti ^ , , , du ^ , jdu.^, .^^.
Mettons pour t,y et '.'« leurs valeurs , nous aurons :
{ v)rfî/] + '« j +etc.
En ordonnant par rapport à ^y et <tz. on a :
S2 Nouveaux Eléments
dz Mais on a :
. dz . , , dz ^ ,
^ dx ^ ^ dy ^ ^'
, , c?w . / dw . , , ^ du
du^(~)dx^(-)dy+(^^)dz,
^dy^ ^dy^'^^ dz^^dy^' donc l'expression précédente devient :
u + D, le =s î«+ I dt* + [ j- ] ^y +( ^ ) J'z+iu } + etc.
= w + [ ^'w + <^w ] + etc.
, ^du , au . . .
•=» W + 7- ( 3y+^^) + etc.
- w + j- V, + etc.
Donc
, du
= ^^u -f- dw
On a donc aussi :
11+ D/w=w + */w + -— Jx'«w + etc.
du calcul des vartationfi. 53
(2) Fonctions qui renferment des dérivées.
Premier Problême.
Etant donnée la fonction
^ dô^
de X et de y y dans laquelle x est l'élément constant , trouver
*iP, ^l'p, etc.
Solution.
On a :
«^■"(y+'.y + j-^ *.'y + etc.)
dx dx"^ "*" dx"» '1.2 djc" +^^^-
dx« "^ rfx" "^1.2 ~dïïi: +^^^*
Comme vj est constant, aussi bien que dx, on devra regarder f 1 = y +da: comme constant , et alors on a :
Donc :
^' P= ■ .i m- • ^1 ==^ ^ - , etc.
dx" dx"
S4 Nouveaux Eléments
on a donc aussi :
Rem. En substituant dans les formules ci-dessus pour p sa va< leur ; on a :
dx" dx" '
Deuxième Problème.
£/anf donnée la fonction
dy dans laquelle on a p « -p' , froMvcr ^^V ; y est une fonction ,
ainsi que p, de l'élément constant x.
5o/t(fton.
On a :
^.V«^V+dV
,dV.^ , ^ dV. d^t/ .
-(dT)*î' + ("^> d^ + ^^-
/{em. Soient encore
dy dz
on aura :
dV dSz ^ dq dx '
du calcul des variations. 55
(3) Fonctions qui renferment des intégrales définies.
Etant donnée ta fonction
u=^ fVdx,
X étant Vêlement constant , trouver <r,u» On a :
uJ^D.u^ f (V+D.V) ix
f\dx^J S^Vdx + -^f i.'Wdx + etc.
a ce
Donc :
^y^Vda^=y ^,V(fe,
î)6 Nouveaux Eléments
etc.
!•' Exemple.
Soient v! = / Vdx, V=/*(x, y, p) , p «= -—■ ; j/ et p sont des fonctions de l'élément constant x , on a :
J,w'«^, /*Vdaî « f S.Wdx « y [aV+dV] dx
=^ fdVdx+f sVdx
— Vdx + / sYdx.
Cela posé^ fesons
ti= f Vdx ,
a on aura :
S.w^YJa^ V^da + f SYdx,
dy dp "^ dx
Soit V « 1^ 1 + p' , on aura :
.„«=.( v/ l+p.). rf« ( »/ 1 +;,.), d« + y*£. g.dx.
V dx a
2"»* Exemple.
,. V dw dj2 ,,,- ,
Soient V=/(x, y, z,p, q) » P "^ ^ > 9"* 7" ? ^ Pelement
constant , on a :
/r/V dV
dy a
Si l'on pose V^t^ 1 +p' + 9* > on a :
DEUXIÈME SECTIOX.
