RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS
Jm=:0, J,w=0, J*'w«0, J^/ti — 0. (a)
La résolution des équations Su = 0, ^,t««sO, ete., comprend trois parties, savoir ; !<» la transformation des variations *m, etc. , en d'autres sans lesquelles les dértvm des variations ^y, 9z^ etc., aient disparu sous les intégrales définies dont se compose la fonc* tien u. 2*" la décomposition des équations ^u = 0, etc.^ en plusieurs autres réellement distinctes ; 3^ la détermination définitive de toutes les inconnues du problème.
TRANSFORMATION DES ÉQUATIONS. (a)
Il suffira que nous donnions les règles pour la transformation de iu y quand u renferme des intégrales définies , car les variations composées et mixtes de u s'expriment en fonction de la variation simple iu. Donnons d'abord les formules qui servent à la transformation dont il s'agit. Ces formules sont de deux espèces, les unes se rapportent à la transformation des intégrales simples et multiples à limites constantes, elles reposent sur l'intégration par par* ties» les autres se rapportent à la transformation des intégrales multiples à limites variables , nous ne donnerons qu'une seule formule de cette espèce , savoir : celle qui se rapporte à la transfor^ mation d'une intégrale double à limites variables.
Les formules de la première espèce auxquelles nous aurons recours, sont les suivantes :
^ a, ^ fia
bah b a
Quant à la formule de la seconde espèce , soient y^ , y, des fonc* Uons de x , telles que
il est clair que la première des intégrations de l'éxpressioD
n-'fdxf(^)dy.
a yo
devra s'effectuer par rapport a y, car l'inversion dans Tordre des intégrations n'est pas permise ici , cela étant , je dis que Toa a :
a if/iX xp^a \p,a
Rem. Si R«^ représente une fonction de x et de y » les notations
représentent ce que devient cette fonction, quand on y change x ea a. De même ^
du calcul des variations, 59
indiquent ce que devient la môme fonction , lorsqu'on remplace y par fi.
Démonstration de la formule (B).
Soit t»«-/Vdy=/'(x, y), on a :
du du . . ,du^ du dx ^dx^^^ dy' dx^
Mais
<d^)"y ^ir^^y^ ^dy^^"^^ donc
dJVdy /"/rfV.^ ,, dy
dx On a donc aussi :
De cette équation on tire :
1^\tv dfVdy .
On a donc aussi
et par conséquent
ce iP^X \p,X \l/,X
^oX xjj^X ^^X
Maïs dans l'intégration relative à y , la variable x doit être regardée corame constante, on peut donc ;, avant d'effectuer cette intégration , changer a; en ts et en a^ alors l'expression précédente devient :
« ^jX xpta ^,a
« '•^o* ^oa xp^a
ax çs^j,^^ dx x^i>oX
Nous allons maintenant nous occuper plus spécialement de la transformation des intégrales simples , et doubles à limites constantes et variables.
Transformation des intégrales simples.
Le but de cette transformation consiste à faire disparaître les dérivées des variations sous le signe d'intégration , de manière à ne laisser subsister sous ce signe que des variations primitives, telles que 3y, ^z, etc. Si, par exemple, il s'agissait de l'intégrale
contenant sous le signe d'intégration la dérivée m* de ^ , la
du -calcul des variaticfns. 61
tra^sforinatron dont il s'agit , consâStera à faire dépendre cette intégrale d'une autre de la forme
t W*9y*dXf
ne renfermant plus que la variation primitive St/t et aucune dérivée de cette quantité. Ou y parviendra toujours par Temploi des formules (A), comme nous allons le faire voir dans quelques cas spéciaux,
Premieh Problébib.
Transfortner l'intégrale
Solution. Soit ^ , r .dY .d^y ^
on aura , par la première des formules (A) :
et par conséquent la seconde de ces mêmes formules nous donnera la transformée demandée , savoir :
a ficiw.Siron poseV«^^ 1+pS p« j^ , ona:
Deuxième Problême.
Transforme^' l'intégrale
Solution.
Soit
•'^''-/^•'^(dr)'
on aura par la première des formules (A) , en remployant deux fois :
/..rfV Donc , en appliquant la seconde des formules (A) , on trouve :
^ dx ^
dx a
Troisième Prouléme.
Soient V « f{x, î^> ^> P' îfX P "== "^ > 9 =" ^ »
transformer Vintégrùle
j éSdxi
X é/anf Vêlement constant*
du calcul des variations. 63
Sofution.
Soit
il /w' = y SVdx , on a :
d\ dSz .,
/dV rfV . . /* . rfV ^ d^V ^ ,
fi—-) —dx J dq dx
Mais on a :
rfV
dq dz ^ dq
donc :
dx J * ^ •■ "^ d« ' ' dx •
On a donc par la seconde des formules (A) :
dV d( — )
dy dx
Rem. Soit V = 1^ 1 +p» + 9», donc ( — ) — ,
la formule précédente devient :
et
(2> Intégrales doubles à limites constantes*
Problème.
Transformer Fîntégrale
a fi iu ^ f I ^Vdxdy a b
dans laquelle on a
X et y étant les éléments constants.
Solution, Comme on a :
n vient :
du calcul des variatlans. 6S
dV . d^
Comme les limites sont conslantes , on pourra înterverlir Tordre des kitégralions,. et écrire :
J ^(^—^dxdy+J dyj (.)(ydx + d b' b a
Mais on a ^ par les régies pour la transformation des intégrales simples , les expressions :
^ dp ^
i — Szdx.
dx a
fi
T — izdii.
dy •'
En substituant ces valeurs dans la formule ci-dessus , on trouve,
en ordonnant :
66 Nùuvmtix Eléments
a /j 9U s=s / j JtNdxdij a b
\ ' »iP 2^,« dp ' 'y^a/
JRem. Si nous fesons dans cette formule
on aura :
donc :
%=;/"[? Jir — P fe ']dy-\-f[Çl $z ^
Q jj ]dx^ f f l{^^) + {^)]9zdxdy.
xyh 9,h^ ^ ^. "-^ dx' ' ^ dy '
^ d*z , ^z . td^z ^
Soient encore r-( ^-^) , « = ( ^), '«-(j^),
on trouve sans peine
du calcul des variations, 67
Intégrales doubles à Ivtnites variables.
Problême.
Transformer la variation composée
quand on a On a d'abord par la formule (15) :
fi'Vdy^V *y.-V %.+ /"^Vrfy,
a yo
ce xj^iX
a \fj^x
<x> 'iiiX a
« fdxf ^Wdydx+ f dx[\ , i.L,x^\\ ^JjoX] a ^aX . a
Mais on a s
^ dz ^ ^^ dp ^^ dx ^ ^^ dq ^^dy ^
et
Wx ^ dx ^ (te ^ '
% ^ d^ ^ dy ^ '
donc
d(P^ d(Q^ dV dP dQ
En substituant cette valeur dans l'expression ci-dessus^ on ob. tient :
a xpoX ^
a îioX a i^osc
Mais on a ;
d (q^9z) dy donc
a. xj^.x a
Dans le dernier terme de la formule (« , la première înlégration
4u calcul des variations» 69
devant s'effectuer par rapport hy^ Tin version dans l'ordre des intégrales est impossible, et par conséquent ce terme doit être transformé en employant la formule ^B). A oet effets fesons dans celle-ci
nous aurons ?
a \fjiX '4^x (p,a
a yp.x 'l^ -^.a
«y ^ ax Xjiftx ax x^^^»
Substituons les valeurs (/3 et (y dans la formule (a^ nous aurons la transformée demandée, savoir :
a \piX
J J f(dT>-(f>-(f-)]^'^i"^«- . (22)
DÉCOMPOSITION DES ÉQUATU)NS (à) EN PLUSIEURS AUTRES.
u étant une expression composée d*intégrales définies^ quand on aura soumis les équations (a) aux transformations du § précédent , elles seront toutes de la forme
la par tie R reste affectée de Fin tégrale primitive, et contient seulement des termes multipliés par les variations primitives 9y, ^z, etc. Comme les parties L et R sont irréductibles , attendu que Fintégration indiquée dans la partie R, ne peut pas s'effectuer à cause de l'indétermination des quantités ^y, ^z, etc. , qui s'y trouvent , il est clair que Téquation ci-dessus se partagera en deux autres» savoir en
dont la première se nomme l'équation aux limites. Ces équations se partagent elles-mêmes en pliisieurs autres , ainsi qu*on va le voir.
Décomposition de l'éqitation R=0.
Dans réquation R=0 , l'intégrale simple ou multiple affecte toujours un polynôme de la forme
P^y4-Q^z+etc.=0.
Donc, puisqu'à eause de l'indétermination des facteurs ^y^ ^z, etc., les intégrations de chaque terme ne peuvent pas s'effectuer y il faut nécessairement que l'on ait séparément
etc.
Ces équations se nomment les éqimtions principales.
Avant de nous occuper de la décomposition de l'équation Le=0 , donnons des exemples^ pour éclaircir ce qui précède; pour cela , examinons les cas d'intégrales simples et doubles.
du calcul des variations. 71
Intégrales simples.
PbEMIER EXElU'Lfi.
Soient w= J Vdx^ V —fi^yU^P^q), ^ = ^ > 5^"= ^ > a
lequaiion
sera de la ferme r
ax tf doc A t/
dx a dx a
On a donc
a Celte dernière conduit à Féquation principale
Deuxième Exemple.
Soient w« / Vdx, V =/*(x, y, z, p, q) ,
dy dz
^ dx * dx *
X étant l^élément constant > Téquation
Jtt » , conduit à une transformée de la forme :
Q^z V rfx = f en a do.ic
L=[A+B.*a.+ C^z] — [A + Ba^ + C^z] =50,
fit a
a Celte dernière donne les équations principales
Troisième Exemple».
Soient u « J^ l/T+T' ^^ ^ P = ^ ^ ^« •'^"^^ '»
transformée :
Elle conduit à
du calcul de& variations. 73
Celle-ci donne Inéquation principale
dx Quatrième Exemple.
Soient n,-^ jV \ +/)«+g» *dx , p — X ,
dz ?== ^ , on aura la transformée ;
eu = [ P^y + g^^ -i r P^y + gJg ^
rf( ^ ) d ( ^g >,
a On a donc r
/* dr . P ^
Celle-ci donne les équations principales
Premier Cas,
Si dans Texpression
