L-0, que nous supposons être de la forme

ax «t

il n*existe aucune relation entre les arbitraires

on aura séparément

\-0, B^-O, C^-0,etc.

Car, à cause de rindétèrmination et de Tindépendance des quantités {a) , le polynôme L ne peut pas devenir nul par une réduction algébrique entre termes semblables.

Rem. Quand la fonction ne peut pas se déformer aux limites de l'intégrale I alors on a évidemment

Sy «0, iy=0, (p) ^0, etc.

car soit y^ Ay une constante, on aura évidemment

d'où :

iy^^O , S^y=0^ etc.

et réquation aux limites n'aura plus lieu , comme s'évanouissant d'elle-même.

Deuxième Cas.

S'il existe entre les quantités

des relations

? = , 9, «= , etc.

il fendra éliminer dcL =0 autant de ces quantités qu'il y a de relations données , puis on égalera à zéro séparément les coefficients de celles qui resteront indépendantes,

Eclaircissons touteeci par un exemple.

Exemple»

Soit

L = V d«-Vd.+(^)*> (^^) ey =0; (r)

te a (*p tfi a dp a

1* Si les limites correspondantes à x=a, x-«a, sont fixes, et données, on a

dcc^O, da^O, "V «0, ^y=*0, (3)

et Pfiquation L=0 s'évanouira d'elle-même.

2* Si les quantités {B) sont indépendantes, et si les limites correspondantes à x « a, X « «, ne sont pas fixes , on aura sépa-

rément :

« a dp a dp a

3** Supposons qu'entre les quantités

da, da, ^y , ^y ,

on ait les relations

a dx a dd

7S Nouveaux Elément

on en déduira

r dXa , rfy V T , et réqvation (y) deviendra :

Cette équation ^ à cause de l'indépendance des accroissemenis arbitraires 4x et da , se partage endeux autres , savoir :

(2) Intégrales doubles^

S'il n'existe aucune condition relative aux limites a, ^c^ 0, 6 des intégrales^ l'équation L=0, ne pourra être satisfaite qu'en posant égal à zéro séparénaent les coefficients des quantités

^z y ^z , ^z , ^ y elc,

S'il existe» au contraire» des relations entre ces quantités , on en éliminera de L » autant qu'il y a de ces relations, puis on égalera à zéro séparément les coefficients de celles de ces quantités qui restent indépendantes.

du calcul des variations. 79

Premier Exemple.

Soit

^=[ flP fz -p & 7rf„ +

et supposons que les variations J^z,j^, etc., soient indépendantes , on devra poser séparément

Deuxième Exemple»

Soit

L = Jdx[V &ij, —V ^i/o + R *^^ — R ^r 1« 0, a 2^ y*» y. y. y- y.

et supposons que l'on ait , en même temps , les relations ^ + ( — ) ^y.^C^-) in

on déduira de celles-ei :

* r / ^A \ r dz ^ .

'\r^^d^\r^ry'^,^"j-

y. "-^ % V ^ rfy y. •' *" ce qui donnera :

80 Nouveaux Elémmts

Comme *y» et ^i^o sont maintenant indépendants , celle équation se partagera en deux autres ^ savoir :

V +R L(^) -cg") 1 = 0.

C0r<DlT10NS DES FONCTIOiNS MAXIMA^ ET MINIMA*

tt désignant une intégrale définie simple ou double , nous allons chercher les condilions pour que u soit plus grand ou plus petit que toules ses déformées , que nous représenterons collectivement par udb Du.

Intégrales définies simples.

Nous aurons deux cas à examiner , selon que les limites de Tintégrale sont données ou demandées

Premier Cas.

Première Règle.

Pour trouver la fonction y = yx , propre à rendre l'expression

U= f \dx 0)

un maximum ou un minimum , b et a étant donnés y il faut résoudre l'une des équations

^tt =a , ou *M « — .

du calcul de^ variations^ 81

Démonstration.

Soît yssfa; h fonction cherchée.

En subsUluanl celle valeur, ainsi que celles de ses dérivées , dans V , alors u prendra une valeur que je représenterai par u^ , et celle fonction sera, par hypothèse ,. plus grande, ou plus petite, que toutes ses déformées comprises entre les mêmes limites.

Soit Uf=zf(a), nous aurons, pour représenter toutes les déformées de t#y , les expressions

du «p + Dttp «=/-(o+0 - », + ^"f + f*'K =F(o) ,

étfl

Comme les fonctions F(a) et F,(a) sont arbitraires, on pourra toujours les concevoir telles que les différences

Fa— fa, F.a— /il,

soient aussi petites que Ton voudra, et que par conséquent Farbilraire if soit aussi petit que l'on voudra. Cela posé , si nous résolvons l'équation

du^ ,, ^ dw«

:7-S. — i/K = 0, ou £--yH=0,

dx dx

on en déduira pour if plusieurs valeurs , telles que a, fi^... Soit a la plus petite de ces valeurs, il est clair que toutes les valeurs de if, comprises entre et « , satisferont aux inégalités

et par conséquent aux suivantes

dUm du^ ^ „

~%>,-K, on ^%>.'H.

1* âbit maintenant t/y un maximum, on aura :

t*y > t<y + DWy .

dUm ,-r

Si donc on prend pour y une valeur comprise entre et ^ >. les relations précédentes se réduiront à celles-ci :

. diiç

du^ or, celles-cî ne pourront subsister à moins que Ton n'ait ::

dVf dx

du^ dx

=a JWy

2* Soit n^ un minimum, on aura

w^ < «y 4- Dw^ ,

Wy < ^f — ï^*** »

Si Ton prend pour jf l'une des valeurs comprises entre et «, les inégalités précédentes se ramèneront à celles-ci :

dU(i

tiç < Wç + rrr ïf ,

dUe

Uç <[ Uç — ^^

qui ne pourront être satisfaites à moins que Ton n'ait :

du calcul des variations, 83

dw^ 1

Donc, pour trouver ia fonction j^ =-vaî, propre à rendre tf une fonction maximum , ou minimum » il faut résoudre Tune des équations

iu «0, *w— — . (a

Deuxième Bègle.

u^ , pour y sa ipx déduit de (a , «era un maximum , guand on aura

e^ un minimum , quand on aura

Démonstration,

Comme on a J^w^œO, il vient

tiy - Dwy - t/y + — ^ »^«- v'H'.

Donc , l"" dans Thypothèse que t/^ est un maximum , on doit avoir :

Or, on démontre ici, comme précédemment, que Ton pourra prendre pour jf une valeur assez petite pour que les formules précédentes se réduisent à celles-ci :

il faut donc que — ? i,*^é*u^ soit négatif*

2» Si —t;,^«.JX était positif, on aurait, au contraire

".<"f + rï S' '•+'•"'■

et alors t/^ serait un minimum.

Deuxième Cas.

Troisième Règle.

Pour trouver la fonction y«=px, et les limites x=a, x-=tf

propres à rendre u= / Vdx un maximum , ou un mini-

a mum entre les limites , il faut résoudre l'une des équations

J,u =» , ou d,u =• — .

Démonstration,

Comme les limites ac—a, xssa sont inconnues, il est clair qu'il faut faire varier Télément constant x , aussi.

Donc si w« doit être un maximum, il faut qu'en posant u^^fa, l'on ait :

Wy > Wy — D.î/y , mais on a :

fin

«, + D.«y = /-{a -f dfl + v) == «^ 4- ^ ». +» .K .

du calcul des variations. 85

Donc f dans le cas du maximum, on a

du,

Si, au contraire y u^ est un maximum ^ on doit avoir

On on pourra prendre if, ssy-hda, assez petit pour que ces relations se réduisent aux suivantes :

pour le maximum , et à

^ < ^ + dT ^' •

pour le minimum.

Mais on voit que ces relations ne sont satisfaites qu'en posant

dum n

dUç ^ 1

Donc, pour trouver la fonction ytssfx, et les limites x a>a , xssay propres à rendre

11= r\dx

86 Nouveaux ÊUmmis

un maximum ., ou un minimum , il faut résoudre Tuae desÀiualions

On prouvera , comme dans le cas précédent , que le maximum de la fonction Uj^ est caractérisé par la relation

€t le minimum par la relation

^,'My y 0.

(2) Intégrales définies doubles.

Nous examinerons successivement les cas où les limites de Tintégrale sont constantes , et variables.

Limites constantes.

On démontrera , comme dans le cas des intégrales simples , les règles suivantes :

Première Règle.

Pour trouver une fonction z==f(x,y), x, y étant les éléments (constants , propres à rendre Vintégrale

ur=» I I Ydydx a b

%in maximum , ou un minimum entre les limites données

il faut résoudre l'une des équations

Jw = 0, 9u=^^.

Deuxième Règle^

Pour trouver une fonction zs»j»(x, y)^ x et y étant les variables indépendantes , et les limites

propres à rendre ^intégrale ci-dessus un maximum , ou tm minimum y U faut résoudre tune des équations

Limites variabks.

Troisième Règle.

Pour trouver une fonction z » f(x, y) , et les limites variables

propres à rendre l'intégrale

»= / / \dydx,

a jfo

un maximum , ou un minimum entin les limites données , et constantes

il faut résoudre Vune des équations

yw^O, ou ^w= jr-.

Démonstration.

Gomme y est une fonction de x, il est clair qu'il faut comparer la fonction u^ y à ses déformées composées , qui sont :

.,^„,.,lU^)-.(|')|],-,-H|.

Donc en prenant tj suffisamment petit, on aura ^ dans le cas du maximum

et dans le cas du minimum :

Ces formules exigent que l'on ait :

Le maximum sera caractérisé par

S'\ < , et le minimum par

jRew. Les mêmes choses étant posées qUe dans la règle précédente, si l'on demandait en outre les valeurs des limites constantes

a il faudrait résoudre Tune des équations

i/u as 0, ou //W-=— y

MiXIMA, ET MINIMÂ RELATIFS.

Quand une fonction quelconque

du^ mlcul des variations*- 8t9

doit deveDir un niaximum ou un minimum,, sous la condition que des équations^

soient satisfaites en même temps ,,. nous nommerons cette valeur extrême un maximum , ou un minimum relatif.

Pour ramener les questions de cette espèce aux règles du ^ précédent^ nous remplacerons le système des équations données par l'identité

dans laquelle A, A| , etc. ; représentent des fonctions indéterminées^ regardées comme constantes» Alors la question consistera à chercher une fonction^ telle que ^ = ?(», y), propre à rendre Tèxpression [a unmaximum, ou un minimum.

Cette fonction, qui satisfera alors en même temps aux équations 1=3 0, L, = 0, etc. , se trouvera par conséquent , en résolvant l'équation

+ SQi, L)+ S{iK,U) + etc. — a. (24)

Cette équation , en la transformant convenablement , fournira par sa décomposition plusieurs autres équations, qui , jointes aux relations données , conduiront aux valeurs de toutes les inconnues du problème, ainsi qu'à celles des constantes A, Ai , etc.

Rem. Ordinairement les fonctions

/", I^ L, , etc.^ ,

sont des intégrales définies simples > ou multiples^

Dans le cas d'intégrales simples,, elles sont ordinairement de la forme

w =s / Vdx ,

. fwdx — K, a

L,= Tw.rfx— K, ,

a etc. ^

6Ù K , K, > etc. , désignent des eanstantes données , ou înconniies«

Quand les fonctions /*, L, L, , etc. , se présentent sous la forme d'intégrales définies, le problème dont il s'agit» est nommé plus spécialement , problème des isopértmètres.

Le problème des isopérimèire^ ^ en tant qu'il se rapporte à des intégrales définies simples de la forme indiquée ^ dépend par conséquent de la résolution de Téqu^tion

iu = /*dx[^V+^(A.W)+^(A.-W.)+ele.

.— *(A.K)— a^CA^-Ki)— etc. « 0]. I

Mais A; A|,... K, K, ^... étant constants , on a : .

j^(A.K)«0, rf(A..KO =0^etc. , et par conséquent Téquation ci-dessus devient simplement

9(K • W. ) +ele. ] « 0. (25)

Pour spécialiser cette formule générale , posons V — «/^(x,y,p), W = Ç(x,y,p), W, «^Ç,(x, y, p) , etc.

^ dx ' et supposons que x soit rélément constant, on aura :

du calcul des variations, 91

/.Vrfx-[(^).j,l.-[(-^)-W,+ a

" dV

dp dx ^ ^ àx

/^-A.W)dx=A,[(^).ri/],-A[( — )^i/]« +

* rfW.

dy dx

/.r(A..WOdx«A.[( ^' )-^y]a-^»[( d^'^'^^^« +

elc. . etc.

Donc réquaflîon (25) devient :

. dv '^^d;;^ ,,dw, ^i^i^

A. [( "^ ) - ^ ] + etc. I dxiy^Q. (5G)

Quand on ne donne qu'une seule équation, savoir L=0, il faudra faire dans la formule (26) :

A, —t), A, = € , etc.,

et alors on aura simplement

tu — f dx [ *V + * ( A. W) j

^^ dy ^ dx ^

dW ^ dp ^ , '^^W^ £-]H-'i'-0. (27)

Cette équation se partage en deux autres, qui sont :

En intégrant la première ; on trouvera la fonction y m^^fx j qui doit satisfaire à l'équation Le=0 , en même temps qu'elle rend l'expression

u^ r Ydx

un maxmium-^ou uf) minimum.

du calcul des variations. 93

L'équation (29), jointe à la relation

L« /*Wdx— K«0,

servira, quand K est donné, à déterminer les constantes provenant de l'intégration y Pindéterminé a> et les autres inconnaes du problème.