APPLICATIONS DU CALCUL DES TARIATIONS
Premier Problème.
Chercher la ligne la plus courte entre deux points donnés dans un plan»
|x«= a ix '^^ a
les points donnés; en supposant les axes reelangulaires^ la question à résoudre sera celle-ci :
Trouver une fonelron y=z^x propre à rendre Texpression
w — r dx^ 1 +p* ,
dy dans laquelle on a p*» ~, un minimum, x étant Félément
constant, et les limites a^ssa, x^^a étant données. Solution.
Il faut résoudre Péquation
^ = r dx^v i~+p^
du calcul des variations. 9Î$
af(— =^)
— J^ cte =t 0.
On en tire ;^
Les points A et B étant donnés , on a ^y» » 0; <^^a = ^9 donc Féquation s'évanouit.
L'équation (2 donne ^ par Ilntégration :
d^où :
Pesons , pour abréger, -~ «=C^ et remplaçons p par sa
valeur r — , nous aurons I équation
qui conduit à la fonction cherchée :
y«Car+C'. (3)
Les constantes C; CI se déterminent par les équations
On a donc ; enfin :
a — a et — a
Rem. Si les points A^ B^ ne sont donnés que par leurs absebses x=»a, x«-«> alors les variations «ry^j., 9ya ne sont plus nulles^ par conséquent l'équation (1 se décomposera en
Ces équations sont satisftiites ,. en posant
tt « , ou -/ — 0.
Donc la droite est parallèle à Taxe des x , et l*on trouve par sou équation
y = const.
Deuxième Problème.
Trouver la plus courte distance entre deux courbes
6=Ça, /5=%i« (a)
données dans unplan^
Les axes étant supposés rectangulaires ^ et x étant pris pour Télément constant, la question à résoudre sera celle-ci :
Chercher une fonction y=.fXy et des valeurs x^a, x « â: , propres à rendre l'expression
w=: I dx )^ i-f-/J*
a un minimum»
Solutix>n.
Comme lés limites a et « sont inconnues , il faut résoudre l'é* quation
du calcul des variations, 97
«^.u — r dx.^, y" l ^ p^
^ i -Vp* a ^^
Cette équation se partage en deux autres , savoir :
efx^j/ «a 0.
et
L'équation (2 donne par Tintégration
y=Cx+C'. (3
Donc y parmi les droites que représente Téqualion (5, il n^y aura que celle qui satisfera à Péquation (| , qui résoudra la question, il faudra donc déterminer les constantes G et C d'après cette condition. Pour cela, remarquons d'abord qu^on a les équations :
dont on tire, par les formules (16), (18) et (19) ,
dfci , db .
•^« da da '
dfa , rf3 ,
aa ax
Mais à cause de
on a :
^ = C ^?^„ cda * da '
donc
db . dfi
3y + Crfa — ---da , J'y^ + Cda = -~ cte ,
ou :
En substituant ces valeurs dans Téquation (1 , elle devient :
dQ ^ db
Gomme da et da sont des accroissements arbitraires^ et indépendants > cette équation se partagera en deux autres , savoir :
d& db
En joigûant à ces deux équations les suivantes :
6 = Co + C', /3— Ca + C^,
on aura six équations pour déterminer les six inconnues
Troisième Problème.
On demande la ligne la phs courte entre deux points donnés de l'espace.
Supposons les axes rectangulaires, et soit x l'élément constant , la question à résoudre sera celle-ci :
Trouver deux fonctions
propres à rendre Texpression
du calcul des variations. 99
uniDinimum y entre les limites données xsa^ X'^a. Solution»
Gomme onap*- -p, gf—— , et que les limites sont données, il faudra résoudre l'équation
d{ ^ ^ - ) dr ^ -y
' oa; ooc )
Cette équation se partage en deux autres , qui sont : psy-}-qiz piy + qtz
L'équation (1 s'évanouira ; car les points A et B étant fixes , on a :
dy^ -0, Sz^ - 0, iy^ =0, ^z^ -0.
En intégrant les équations (3 , on trouve :
On en tire :
dy k ^
dz h
En inlégrant de nouveau, on trouve les équations de la droite :
les points donnés ; on déterminera les constantes
par
les relations
«= Ca+C, ,
'Ca + C,
= Ca + C'.,
et r
on aura :
= fap= — a —
<3ec '
— av
Rem. Si Ton donnait seulement xs=ia, xssa, c'est-à-dire les plans perpendiculaires à Taxe des x comprenant la plus courte distance , alors les variations J'j/a, 9z^ , iya^ Sza ne seraient plus nulles , et comme elles sont indépendantes entre elles , TéquatioD aux limites fournirait les suivantes :
k 14-p'+9» " Kl+p'-fg» "
du €alûîd des variatmis. 101
Ces équations sont satisfaites en posant
d'où :
z = const. , y &= const.
La plus courte ligne cherchée est alors une parallèle à Taxe des X, comprise entre les plans X'^a,x=c6.
Quatrième Problème.
On demande la ligne la plus courte entre les deux courbes de ^espace
)b=^a, (fi^Xa,
En supposant les axes rectangulaires, et que x soit Télénient constant , la question à résoudre sera celle-ci : Trouver deux fonctions
y es yX , Z=:ipX ,
Cl deux valeurs
propres à rendre Pexpression
u == r dxV 1 + ;>' + g»
a un minimum.
Solution,
Soit V=r l+p*-J-g* ; comme les limites x=»a, x = « sont inconnues , il faudra résoudre Téquation
^,u =^ r ^, \dx
f \^\ \d\\ dx
= /*/ V . dx +' V.d« -- V.da
V ( ^y^'^' + J ( d7)^ rfx + V.d.- Va-fa a a
= V„ d«- V. da +( ^ ). Jy. -( ^^)« 9y, +
dx Cette équation se partage en celles-ci :
V,d«-V,rfa + (^-l).*y.-(;jl).*V.+
^ dq ^<^ ' ^ dq ^'^ " ' ^
'^^dT^^''
En intégrant ces dernières ^ on obtient , comme dans le problème précédent, la droite
Comme on a p— JL«sC, g— ^=C', Téquatîon (1,
ox ax
qui doit être satisfaite par les valeurs (3 ^ devient
du calcul des variations. 103
[1 +C' + C' ] rfA— [ \ 4-C«+C''] da + C*y« + C'<fe« — Qya — C'itea — 0- (4
Maïs les arbitraires
da, da, iy^ , jz« , j^a , ^z^ ne sont pas indépendantes , à cause des relations Va = fû — ^a— 6 , î/« = f« = :«tf — /3 ,
Or , on déduit de celles-ci , par l'emploi des formules (17), (18) et (19), ces autres relations :
iy^^-aa=-da, ^î,^ + ^d.= d..
dza de . dza d'f
-— da « -T— »« * ^^« + ■; — (to «— --da da * ' cm cfa
On a d'ailleurs , par les équations (3 :
rfa ' da ' (fc * da •
donc :
dt di
En substituant ces valeurs dans l'équation (4 , elle devient :
[ 1 + C — +C' — 1 do — 0.
da da -^
Comme d:<; et da sont deux accroissements arbitraires et indépendants entre eux , celte dernière équation se décompose en celles-ci :
Si nous joignons à ces deux équations les suivantes
b =|a f fi czXx ^
OR pourra déterminer les 10 inconnues
«, fi, y
Cinquième Problème.
Trouver la ligne la plus courte e^itre deux surfaces données
En supposant les axes rectangulaires , et que x soit Télément constant , la question à résoudre sera celle-ci :
Trouver deux fonctions
et deux valeurs
propres à rendre l'expression
u^ r dx y I+p' + 5*
un minimum.
Solution.
En raisonnant comme dans le problème précédent , on trouve
du ca/cu/ de* variations. lOS
on trouve
= Cx+C., \
pour les équations de Ist ligne cherchée ^ et
[ 1 4- C»+C'-] d*— [ i +C+C'^] da + Wy. + C'c^'z» —
pour réquation aux limites.
Mais aux points où la droite (a rencontre les deux surfaces données ,. on a :
j2r^ — c - C'tt + C; , z^ = y = C'«+ C, .
On a donc , par les formules (17), (18) et (19) :
cf^^ ==: ( ^ — C) da — dô — Cdà ,
fc^ — ( ^ — C >da — de— Gda , * ^ da ^
^y^= ( ^ — C)d«=»d/^— Cd«, ^^- = ( T^ — C' ) d«» dy — C'A».
On a de plus
En substituant ces valeurs dans Péquation aux limites ; elle devient :
[C + (^)l«W+[C'+(^)]dy-
[C + (^)]d6-[C' + (^)]dc-0.
Or, les accroissements arbitraires
dbj de, dp, df étant indépendants, Téquation précédente se décompose en celles-ci:
£n joignant à ces équations les suivantes :
On aura le nombre voulu d'équations pour déterminer les dix inconnues
a, 6, c, tf, A y, C, C, , C, C, .
Sixième Problème.
Chercher la surface minimum comprise entre deux plans
x^^ a f X =5 « perpendiculaires à l'axe des x, et deux surfaces donnas
En supposant les axes rectangulaires , si de plus x et y sont tes éléments constants > la question à résoudre sera cdle-ci :
Trouver une fonction
de deux variables, et deux fonctions
Vo « -XoX , y^ « \fftX d'une seule variable , propres à rendre Pexpression
u tsz I dx 1 dy w l-|^p«-|-ç>^ a yo
du calcul des variations. 107
un minimum entre les Hmiteâ données
SoluHon* Soit pour abréger
dz dz
dans celle expression on a P=»(;t-);Î = (;j-)-
Comme les limites inconnues de Tintégrale double sont varia-blés y on aura , d'après la relation (22), à résoudre l'équation
~ ** j; V*,x <f^x,fa) — (Q ^P ;n )«.m'^«,^^ 1 +
a ^o^ Celte équation se décompose en
et
(^)+(^) = r(l+g«)-zpîs4.Ul+P«)-0-
En intégrant celle-ci, qui est aux différences partielles du second ordre , on trouve la fonction cherchée
renfermant deux fonctions arbitraires ^ que je représenterai par «1 > tût. Pour les déterminer^ ainsi que les fonctions inconnues
il faut recourir & Téquation (7)9 et la décomposer en plusieurs autres. A cet effet ^ observons que la surface minimum cherchée js G=8 j> (x, !/) , rencontre les surfaces données
««/"(ap, y), '/«A(x,y) en des points pour lesquels on a :
^œ,t^ = « ( «, '^oX ) = /• ( X, v/o« ) ,
On a donc, par les formules (12^), (13) et (14) ,
OU
Soient pour abréger :
les équations ci-dessus donneront :
du calcul des varititwns. lOd
Comme on a de plus
i — )z=sPs 4-01 a= P g JL, ? I
réquation (r) deviendra :
ce
*^iFfÎFÎ7W-^(*+^'+''"U-
Comme les fonctions arbitraires ^iX, i\fM sont indépendantes, cette équation se partagera en deux autres , savoir :
