JL- ( — ) .( — \ -sO
^ dy «,*•« ^ dy ^x,^cx ^ dx ^os^itfis ^ dx ^^a?,^»»
Comme on a
il est clair que les équations (fi)y pourront être remplacées par les suivantes :
Ces équations^ jointes aux équations (') , serviront à déterminer les fonctions arbitraires ax , co^^ et par conséquent la surface minimum
5J — 7 (ar, y)
sera complètement déterminée.
En substituant ensuite cette valeur de z dans les équations if) i celles-ci feront connaître les fonctions inconnues
du calcul des variations^ | f {
Septième Problème.
Chercher ta courbe qui, en tournant autour de Faxe des x , engendre une surface de révolution la jdus petite possible entre les plans X ■*» a, x •« «.
Solution^ On a ici Téquation
Comme les limites a et a sont données, on trouve la eourhe eherchée
en résolvant l'équation
<^w — 2t J' ^{yV i +p^)dx « 0.
a Or, on a :
Vi^ptiix On a donc :
l/T+7'" "" Vt+
Celte équation fournit par conséquent celles-ci :
En effecluant la différentiation indiquée , cette dernière devient : ^^ Kl-Hp» (1+P*)I^1 + P*
etr se réduit à
(£c c7tf , dp
Comme on a djn «= pcfx , on trouve
dx dp
Pour intégrer cette équation ,. multîplions-la par — == p ,
nous aurons
dy pdp 1^ 2pd/>
d'où r
H y = log»^ l+p»^+log c ,
On tire de celle-ci :
p=^ = \/lïp, d'où:
^ dx c«
dx dy , ^ r ^y
ou
du ca/cu/ des variations. t\ 3
dy + î(y* -cY iydy
log c'. (3
ou
d'où :
(a) est la fonction cherchée
c'est l'équation d'une chainelle. Comme on a — ^ — IL l'on
dop* c" '
^^ ^"^ d? ^^ ^ ^"' "^^'"^ ^'^"^ ^ ^^'^^ '^ chainelte («) tourne sa convexité vers Paxe des x.
La relation {a) change l'équation aux limites en
l' Si la courbe cherchée doit élre comprise entre deux pomts donnés
fx = a (x^ Ci
on aura
et réquation aux limites s'évanouira. Les constantes cetc/se déterminent alors par les équations
ft = 2? ( c « + c- e >
S"" Si Ton donne seulement le point A ^ on a
et
a oc
c/^eë — c'e"*= ,d'où
En substituant cette valeur dans les équations (v) , on trouve les deux inconnues c et fi. Comme on a alors fi = c. Ton voit que le point B est aussi bas que possible.
3** Si A et B ne sont pas donnés , on a :
a CL
De ces équations on déduirait les résultats contradictoires
(f =s ce ^ , c^ ^'^ c*e ^.
Donc le troisième cas ne donne rien .
Bem, On peut simplifier l'équation (a), en prenant pour axe des y la plus grande ordonnée , qui est
car pour y <C c le radical 1^ y* — c* est imaginaire. On a alors y=^c , quand x b ; donc
du calcul des variations. liS
= log c + c' , ou c' ■= — log c ,
et
log •
En passant aux nombres, il vient :
Si Ton change d'axes ^ on a :
Huitième Problème.
On demande la courbe qu'un point matériel pesant doit suivre pour aller dans le temps le plus court ^ sans vitesse initiale, du point donné A , au point B , aussi donné.
Solution.
les coordonnées rectangulaires des points donnés , ty le temps de la descente^ nous aurons l'équation
^Bs minimum.
Cherchons l'expression de t.
Pour cela, on a , par les principes de la mécanique,
ds dv d^s vdv ,.^
Soit maintenant F la foroe normale qui retient le point sur fa courbe ; soit g la gravité dirigée parallèlement à l'axe des y, soient fty »^ a les angles que la force F fait avec les axes des x, y^ z,, on aura . par les équations (1) :
. «Fcos^, ^ - e, + F COS., - - Fcos».
Multiplions ces équations par dx, dy, dz et ajoutons, nous aurons :
dxd'x + dyd*y A^dzd^z , „i ^ , .
' ~-j- = gdy +Flcosfldx + cosmy-{cos ^dz I . (2)
Mais, puisque le plan de la force F est un plan normal» on a pour son équation
cos (idx + cos vdy -]- cos vdz = ; donc Téqualion ci-dessus se réduit à :
dxé^x + dyd^y -f dzd^z
dt' Mais on a
= gdy. (3)
ds^ dx* + dy* + dz^ dt* dt* '
donC; en différentiant :
dxd*x + dyd'y + dzd'z
vdv =3 -^^ .
dt""
L'équation (3) devient donc :
vdv =» gdy.
En intégrant; on a :
v^ = ^gy + c.
Comme le point mobile est sans vitesse initiale , on a
2gf6 4- c = , c — 2gf6 ;
donc
t- = 2gf(y~6),
V = ^ ^giy — b). (4)
4u calcul des variations. H7
Mais on a :
.dr=— r= ^.(/ ^^ 1 +r+g' .
d'où :
— = tnimsMiai.
Faisons poar abréger
on aura à résoudre l'équation
Celte équation se décompose en :
WU ^P P '
et
wu wu .^
dy ^ dy ~ *
En intégrant les équations (2 , on trouve
i\S Nouvemtx EUments
et
L == ou B^) — Ag = , q B
ou
B ^ —A — =0 : d'où Bx- - hz = c.
C'est l'équation d'un plan perpendiculaire au plan des xz\ la courbe cherchée se trouve par conséquent dans ce plan.
Prenons pour le plan de la courbe le plan des xy , on aura :
9 = ( ) = 0, doncu;= «^ l+p' = V * + d^'
Donc :
df ^ A(t/-6)
di/ K (2/— 6)— A^(î/ — 6r
^^^ (t/-fe)% A-^-L. (4)
Cette équation appartient à une cycloïde dont la base est horizontale , et passe par le point de départ A du mobile. Le cercle générateur a pour diamètre c« Intégrons l'équation (4).
On a :
Soit y — 6 = w , on a :
/udu y eu — w'
j y^ cdu j /^(^ — 2t« ) dw
a'i/ 1^ cu — u* 2"e/ *^ cw — w"
ac — k
dv t ^ dw
du calcul des variations^ 119
— = t? , eu — W* =5 w.
Effectuons les intégrations ; il vient :
X — i = TT c are sin v • t; — r tir
1 2tt -■ c arc sin y • —
= — c arc sin y • r eu — u^
«=» -- c arc cos ( 1 ) — y eu — w*
= - carccos ^ ^'— l/ c(y— 6) — (y— 6)*.
Jm C
Pour ysssb ^ le second membre de cette équation s'évanouit , d'où X = X:. A: est la valeur a de or qui répond à j/ »6. Soit a la valeur de a; qui répond à y » ^3 , on a :
a — a= — carccos
cette équation sert à déterminer la constante c.
Neuvième Problème.
Une courbe C tourne autour de Caxe des x et engendre une sur'face S ; en supposant que celle-ci se meuve le long de Vaxe des x dans un milieu fluide résistant , on demande de chercher la courbe C pour que la surface S éprouve la moindre résistance possible.
Solution.
La résistance éprouvée par la surface S a pour expression
«-/4ïf=->
on a donc :
De là ^ on déduit l'équation principale r
1 + p» cfa:
En effectuant la différentiation indiquée , Téquation précédente se réduit à
dy Zdp kpdp
mmmmm t^i^Hik «S^^S ^-^h*«^ «■hm^^h^^ te^*«^w..^«.
dont rîntégrale est
log -- *= logp^ — 1<^(1 +p»>»4.c.
ou
(O..A.li±pl, .,=.[A.11±J^].
Mais on a :
donc :
et
^"' + ^t^4 +'^ + * + >«gP]- (2)
Les relations (1) et (2) conduisent, par Télimination de p, à l'équation cherchée, i
du calcul des variacions 121
Dixième Problème.
De toules les courbes comprises entre les ordonnées
chercher celle dont le centre de gravité de l'arc est le plus bas , ou le plus élevé.
Solution.
Soii u la distance du centre de gravité de l'arc à l'axe des y , prise pour axe des abscisses, on aura
J" ccds r x^ \ -i- p-.dx
maximum a a
^ — — = ^ «= > ou
f V \J^p' dx
mmmium.
a donc
f V \J^fdx
[ f y 1 + />' dx Y
Posons
ce qui esl permis , puisque les deux intégrales sont des constantes, ainsi que leur rapport. On a donc
De là on conclut :
d'où
,V = * log C'est IVquation de la chaineiu*.
du calcul des variations. (23
