FONCTIONS ISOLÉES
Les éléments variables de la fonction donnée sont ou des variables primitives, ou des dérivées, ou des intégrales définies.
t6 Nouveaux Elérmiiis
Fonctions à variables primitives.
PrEMIBR PROfiLÊME^
Etant dbnnée la fonction
dans laquelle x est l'élément constant , et y l'élément variable ,.. fonction de X, trouver les variations première y. seconde y etc. ^ de Uj savoir :
Sotation\ On a par définition :
ti -{. Dm =- /(a?, y + Dy)
du 1 d*u
.„ + ()Dî,+ -(-)Dr + etc. + R.
Mais on a :
en a done :
dxi \
M+Du=M+(— )(%+ ^,r'y+eic.) +
ou y en ordonnant :
Mais on a :
donc
^ , . da . dy
1 du d'y d*u dy\ .
du calcul des variations. 17
Mais les variations première , seconde, etc.^de u, sont les termes îuif yif\ etc. y on a donc :.
etc..
et
ti +Dîi=! M -f l^a + ^p-5 ^'u + etc- H-Ra.
iî^m. En regardant x comme constant , et en différentiant
on obtient
du X rf'w V dt^\
du^( — )dy, d^u = {~)dy^+(^)d'y,elc.
En comparant ces différentielles aux formules (6)^ Ton voit y qu on en déduira Su, ^u, etc. , en changeant dy^ d^y y etc. , en *^ff, ^y> etc.
Deuxième Problème.
Etant donnée la fonction
u^f{xyyyz)y
dans laquelle x est la variable indépendante ^ c^est- à-dire r élément constant y trouver les variations
iuy S^u, elc.^ y et z. étant des fonctions de x*
Solution.
On a par définition r u-^-Du^sfix, y + dyjZ'{'î)z)
18 Nouveaux EUments
On a ensuite
Dz « <r^ + r-. S*z 4-etc. ,
donc
fÎ2[(|^:)W + elcO+2(0p(^y + etc.)(^ +
etc.) + ( — ) (32» + etc.) ] + etc. + R,.
En ordonnant on a :
. « r ^ dU^ , y du V T
M + Du = M + [ ( - )*i^H- ( — ) .Tz] +
Mais y et z étant des fonctions de â?^ on a :
dy d«v ,
donc « + D«=-«+[(^)^+(5^)3,-f
du calcul des tHuriatwns^
1 r , dtt rf«y dn d^z d^u dy*
cPw dy dz
{*^^^dy^ dx^^^dz^ dx'^^^dy^^ dx^^ ^dydz^dx dx
Les variations première, seconde , eto. , deu, étant les termes en Vf *f^p etc., on a :
. ^ du. dy . .du.dz^
J-gr ***" ^ *** dz ,#t* d*z.
dz
etc. , etc.
On a donc
U + DU=: U'\'SU.+ 5-5 ^t« 4" ^*** + ï^"'
ficm. Si l'on digiàrentie u^f(x, y, x)> en regardant x comme constant ^ j^ et z comme des fonctions de x, op a :
dj/
dj?
dydz
etc.
En comparant ces valeuri^ aux expressions (7), Ton voit que Ton
déduira celles-ci des précédentes , en remplaçant les facteurs rfy, dz, d^y, d*z, etc., par ^y, ^z, J«y, <J«jr, etc.
Troisième Paobléme.
Etant donnée la fonction
dans laquelle x ety sont les éléments constants , ou les variables in' dépendantes , trouver
dUf i^u, etc.
z , OU r élément variable^ étant une fonction de \ et de y. Solution»
On a par définition :
= n+(g)Dz + ^2(g)D.« + etc. + R.
1 , d'u . , , 172 { ^ ) (*«* + etc.) + etc. + R»
, ,du , , 1 , d'u du
Mais z étant une fonction de x et de j^ on a :
etc., donc
du calcul des variations. 21
Comme les variations première et seconde , etc., de m sont les termes en y , if', etc. , du développement de tt-|-Di«, on a :
etc.
On a donc
u + Dw^u+Su+j—S^u+eic. + Rn.
Rem. En difïérentiant u ^ f(x, y, z) , par rapport à z, on a : cfu=(g)dz, d«u = (^)d.«+(g)d«.,etc.,
donc , on obtient les formules (8) en changeant dans celles-ci d en J.
