CT = I
Ajoutons que, si l’on pose
. 2?» 2rr
l "UT'
s = kil — -~
les valeurs des p , pour trois rayons polarisés parallèlement aux trois axes de l’ellipsoïde, seront précisément les carrés de ces trois demi-axes. Observons d’ailleurs que, si l’on nomme r le rayon vecteur mené du point O à une molécule voisine m ; a , /î , y les angles formés par ce rayon vecteur avec les demi-axes des coordonnées positives; a, h, c les cosinus des angles formés avec ces demi-axes par une droite OP perpendiculaire au plan de l’onde ; <5 l’angle compris entre cette perpendiculaire et le rayon vecteur r; on aura [voyez l’équation (14) du § 2]
(4) cosil — acOsa+Acoü/l + ccos;' ,
et qu'en faisant pour abréger
(5) tara, kb~v , kczzw, ou tirera de l'équation (4)
(6) icosd=: «coscr+vcosjS -f-tccosy.
Cela posé, le* coefficient* t, 3Tt, 3C, •?, 3,, A renfermé* dan* l'équation de l'elllpaoide cldesaiu mentionné, c'est i dire, dans la formule
(7) ti , + i)ltj’-4-3î* , +2 , îj*+2a.ix + 2sMy = i,
ae trouveront, eu vertu de l'équation (6) jointe aux formule* (20), (21) du § 2, déterminé* comme il «uit,
(*) = on = °+5^' 8t = °+d^
il'-'P 9
(9) dvdw ' a "~ dwdu '
ica valeur* de D et *T> étant
(10) D = S^ r [1 — co«i r ui os« -f- ucos/? -j- lecoi;-))] ;
Î m/Wr , „ . cos (rfacosre -f-t»cos,9 -4-uico»)'))ll
Lorsque au premier instant les vitcsaes et les déplacements dea molécules dans une onde plane sont effectivement parallèles a l’un de trois axes de l’clilpsolde représenté par l'équation (7), ces déplacements et ces vitesses restent constamment parallèles au même axe, la lumière se trouve polarisée parallèlement i cet axe, et l'oude plane se propage avec une Titessc constante S} , sans jamais se subdiviser. Mais il n’en est pas toujours ainsi, et l'on peut concevoir une onde plane dans laquelle au premier instant les vitesses et les déplacements des molécules cesseraient d'étre parallèles a l’un des trois axes de l'ellipsoïde. Ku effet, pour composer une onde de cette espèce. Il suffit de réunir trois ondes planes tellement choisies que, dans U première, ta seconde, et la troisième, la lumière se trouve polarisée parallèlement au premier, au second et au troisième axe de l'ellipsoïde, et d’admettre que dana l’onde composée Is vitesse ou le déplacement d’une molécule est représentée par la diagonale du parallélépipède, qui aurait pour cotés trois longueurs propres à représenter cette vitesse
ou co déplacement dans chacune des troi» ondes composantes. Alors, le temps Tenant a croître, l’onde composée sc subdivisera en scs trois composantes, qui se propageront a travers le fluide éthéré avec trois vitesses differentes. Ainsi lorsque Felastieité de l'éther n’est pas la même en tous sens, une onde plane, dans laquelle la lumière n’etait point polarisée, se partage généralement en trois ondes planes, dans lesquelles la lumière est polarisée suivant trois directions distinctes ; et par suite un rayon de lumière Bon polarisée se pirtage en trois rayons de lumière polarisée suivent les trois directions dont il s’agit.
Comme, en laissant les trois cotés d'un parallélépipède dirigés parallèlement à trois ares donné*, on peut toujours tracer ces cotés de manière que la diagonale devienne parallèle b une droite choisie arbitrairement, on doit conclure de ce qui a été dit ci-desans, que, dans une onde plane de lumière non polarisée, les vitesses et les déplacements dea molécules peuvent être parallèles a une droite quelconque.
Les coefficients £., Oit, 9b, T, 2,, ‘A renfermés dan* l’équation (7), et par suite les lois de polarisation de la lumière dans une onde plane dépendent non seulement de la constitution géométrique du fluide éthéré, c. a. d., du mode suivant lequel sc* molécules sc trouvent distribuées dans l’espace, mais encore de l’epaisseur l de l'onde plane, et de sa direction, c’est à dire, des cosinus a, b, c des angles formés par la perpendiculaire au plan de l’onde avec les demi-axes des coordonnées positives, ou, ce qui revient au même, des trois quantités
n— la , t' ~ kb , w — kc.
Noua dirons que l’clasticité du fluide éthéré est la même en tous sens autour d’un point quelconque O, si la constitution de ce fluide est telle que l'ellipsoïde (7), qui détermine les lois de polarisation d’une onde plane passant par ce point, conserre une forme invariable, tandis que l’on fait varier la direction du plan de l’onde, et al d’ailleurs la position de cet ellipsoïde est uniquement dépendante de la direction de ce pian. Alors, tandis que l’on fera tourner le plan de l’onde sur lui même, la surface de l’cllipaoidc devra toujours passer par les mêmes pointa de l’espace et du plan. Donc cet ellipsoïde devra être de révolution autour de la droite perpendiculaire an pian de l’onde ; et déplus l’axe de révolution ainsi que ic rayon de l’équateur, étant indépendants de la direction du plan de l'onde, demeureront constants, quelles que soient les valeurs attribuées aux trois quantités a, b, c.
Nous dirons que l'élasticité du fluide éthéré est la mémo en tons sens autour d'un axe quelconque parallèle a un axe donné, par exemple, a i'axe des z, si la forme de 1'cllipioide (7) dépend uniquement de l’angle compris entre le plan de l'oude et i'axe des z, et si cet ellipsoïde tourne seulement autour de cet axe en même temps que la perpendiculaire au plan de l'onde.
Cela posé, Il sera facile d’obtenir les conditions analytiques propres à exprimer que l'élasticité de Fétlier est la même en tous sens autour d'un point quelconque ,
ou autour d'un axe quelconque parallèle à l’axe de» t. On y parviendra effectivement i l’aide des considérations suivantes.
Outre le système des trois axes coordonnés des x , y , z considérons un second système d’axes rectangulaires des x, , y,, z, qui partent de la même ori-
gine O que les trois premiers. Supposons d'ailleurs que les axes des I,, y„ z,, après avoir d'abord coïncidé avec les axes des x, y, z s’en séparent et entraînent dans leur mouvement le plan de l’onde et ta droite perpendiculaire à ce plan, ensorte que cette droite passe de U position OP i une nouvelle position OQ, l'épaisseur l de l’onde restsnt invariable. Le rayon vecteur r, dont la direction n'aura pas clisngé, formera 1* avec les demi-txes des x, y, z positives les angles a, fi, f, et avec les demi-axes des x t , y,, z, positivez d'autres angles « t , fii, fi} 2° avec le* droitea OP et OQ des angles â, tf,, déterminés par l'équation (4) et par la suivante
(12) cosd, =: acoso, -4-4co«/?,-f-<-eosy, do laquelle on tirera, en ayant égard aux équations (S),
(13) ècoad,~ucos<v,-f-t>co9,'? I -4-ureoiy,.
Soient maintenant
4Li, DK.» X,, T, , 2.,, Ut,, O., *?,,
ce que détiennent les quantités
4L, «t, 3t, i. Ut, D, r P,
déterminées par les équations (8), (9), (10), (11), quand on remplace a, fi, f par u. , fi , , fi, ensorte qu’en ait
(14) *«=0,+-^, art, = 0 ,- 1 -^,
du‘
