PT
dwdu ’
Uudv
Oi — S ? — - — [1 — cos(r(«coso 1 -f- t/cos^+tncos;,))] j ,
(17) -V, = S j^[? (ncosu, + ,c 0 .^e..y,) ! +
Les deux ellipsoïdes qui détermineront les lois de ls polarisation pour les ondes planes perpendiculaires aux deux droites OP, OQ, seront représentés le premier par l’équation (7), le second par la suivante
(18) H- OR ,y «’ -f- Oti*»’ -H •+- îa^x.T, + 2gt ,t, y, = 1.
De plus le second ellipsoïde sera pareil au premier, et placé a l'égard des axes coordonnés des x,, y„ t, comme le premier l'est à l’egard des axes coordonnées des x, y, s, si l'ou a
£, = £.» OR, 3= cm , ac.rrot,
$, = «, i. = i, 3l, = 'Jt.
Enfin, ces dernières conditions, si elles doivent être vérifiées quels que soient u, v, u>, pourront être remplacées par les deux suivantes
Effectivement, il suit des équations (8), (9), (14) et (15) que les oouditions (19) et (20) peuvent être présentées sous ta forme
rfY'V,— 'P) „ d’('9 t — r V) „ «*’(«?,•?) ,
(22) Th-VH--^ i -r- L = 0, = 0, t),-t)+— O,
du 1
dw 1
dvdw
^(cp, cp) d iv il u
«TCP,— ^P)
dudv
Or les formules (22), (23) seront evidémment vérifiées'? ai l'on a pour des Talcurs quelconques 3e u, v, w
Réciproquement si les conditions (22) , et (23) subsistent pour des valeurs quelcon-
alors, eu vertu des
conditions (23), les trois quantités
du
du
dw
quantités
rTCP, — *P)
du 2
dv*
dw !
lieront seulement fonctions la prémière de u, la seconde de v, la troisième de > 0 , Donc ces trois quantités ne pourront, comme l'exigent les conditions (22), acquérir une valeur commune O — O,, qu'autant que cette valeur commune aéra une quantité constante, c’est k dire, indépendante des trois variables u, t>, to, D'ailleurs, lorsqu'on pose kzzO, et par suite w = 0, t/ = 0, ïo ~ 0 on tire des équations (10) et (16)
Par conséquent, dans l'hypothèse admise, on aura généralement
ou ce qui revient au même
et les conditions (22) se réduiront
De ces dernières jointes aux conditions (23) on conclura que les quantités (24) se réduisent à des constantes ; et comme, en vertu des formules (11), (17), les expressions
JT. dVt
du ’ dv ' dw ’ du ' dv ' dw
s'évanouiront pour des valeurs nuilcs de v, v, w, ü’ est clair, qu'on aura généra lement
rf(‘'P.-*'P) A eI('P,-'P) ft
du dv ~ '
rffP,-T>) ft
dw
Donc la différence
se réduira elle même k une constante , qui sera encore nulle , attendu que T, et *V a'éranouissent en même temps que les trois variables u, v, w. On aura donc encore dans l'bypothègc admise
et les formules (21), ou (26) et (29), seront alors une conséquence nécessaire des conditions (22) et (23).
Pour que l'élasticité de l’éther puisse être censée rester la même en tous sens autour d’un point quelconque, il est nécessaire et il suffit évidemment que des deux ellipsoïdes représenté» par le* équations (7), (18), le second soit toujours pareil au premier et placé à l'egard des axes des x,, y,, z, comme le premier l'est à l'egard des axes des x, y, s , par conséquent il est nécessaire et il suffit que les conditions (21) soient toujours vérifiées c’est - a - dire , que ces conditions subsistent, quelles que soient les valeurs de v, v, te, et quel que soit le nouveau système d'axes rectangulaires des x,, y,, z,.
Si l’on demande les conditions nécessaires pour que l'élasticité de l’éther puisse être censée rester la même en tous sens autour d'un axe quelconque parallèle à l’axe des z, ces conditions ne cesseront pas d'être exprimées par les formules (21), qui devront subsister encore, indépendemment des valeurs attribuées à u, v, te, non plus quels que soient les nouveaux axes des x,, y ,, z,, mais seulement quels que soient les nouveaux axes des x, et y, , l’axe des z, étant superposé à l’axe des z%
U nous reste à développer les conditions (21) et à montrer les diverses formules qui s'en déduisent.
Observons d'abord qu’en vérin des équations (10), (11) (16), (17) jointes aux formules (4) et (13), les condition» (21) peuvent s’écrire comme il suit
(30) S [1 — cos (kr cos d,)| = S [1 — cos (kr cos d)j
cosfArcosdnj
Ainsi lea conditions nécessaires et suffisantes pour que l'élasticité de l’éther puisse être censée rester la même eu tous sens autour d’un point quelconque ou autour d’un aie quelconque parallèle à l’axe des z se réduisent à cc que les deux quantités
(32) ©=:s|— ^-^[1 — cos (trcosd)j|
«? = S [ «y coa’d 4- C ~ ^ j
ne changent pas de valeur quand on y remplace l'angle tf compris entre le rayon vecteur r et la droite OP par l’angle d, compris entre le rayon vecteur «*
et la droite OQ; les droites OP, OQ pouvant être choisies arbitrairement dans le premier cas, et étant assujetties dans le second i la seule condition de former tontes déni le même angle avec l’axe des z. Observons encore 1° qu’en vertu des équations (5) u, v, w, représentent évidemment les coordonnées d’un point P situé sur la droite OP i la distance k du point O, et vérifient la condition
(34) PstP+td+t®*»
de laquelle on tire
(35) *=V(V+«' , +ie , )>
2° que si l’on nomme «, v, w les coordonnées d’on point Q situé sur la droite OQ à la distance k du point O, il suffira de substituer la droite OQ à la droite OP pour déduire des formules (6) et (35) les deux suivantes
(36) kcosô, — u, casa + t>,co*j9 + ie,cosy ,
(37) k= V (-.’+t'.’+tO,
dans lesquelles on devra remplacer w, par w , si les droites OP, OQ forment le même angle avec l’axe des a. Cela posé, les conditions nécessaires et suffisantes pour que l’élasticité de l’éther puisse être censée rester la même en tous sens autour d’un point quelconque , ou bien autour d’un axe quelconque parallèle i l’axe des z, c’est i dire, les conditions (30) et (31) pourront s’écrire comme il suit
tmf(r) i
S ' — “ — [1 — cos (r (»,cosa ■+• i .cos/î -j- jt^cosy))^ j
lmf(r)
ï = S J — - — [1 — cos (r (u cos a -f-v cos fi -f- w cosy))]
(<"/(r) r. , . . cos(r(n l cosrï-Hi 1 cos^-Ho 1 eosy))’i)
S f [j (n 1 cos(l^-l' 1 cos ( 9+ttï 1 cosy) , ^ - — Jj
( -WW., „ ,, co»(r(uco*a -f- ncos,î -+• iocosy))l)
= S j — - — |î («cosft + tcoa,? -f- wcot/) -+• ; - -- ”
le» quantités variables u,, v,, w,, se trouvant liées avec les qusntités u, v, u> par l’éqnatiou
qui, dans le second cia seulement, se partage en deux autres , savoir
On yérifie la formule (40) en supposant
(42) «-, = 0 to, = 0, ». = ± V (u , + v' + u, 7 ) = ±t.
En vertu de cette supposition , les formules (38) et (39) deviennent
(mf(r) 1 r(»*)
(43) S | — - — [1 — cos(r(«cosfe+-»cos/î-4--iccos;'))) j = S j — - — [1 — cos(trcosa)]
„ ("»/(*•) r , . .. . „ . cos(r(«coso-Hrcos^-4-iocos)' )>|)
S ; — - — I * (u cos cf -Ht;co8/g-f-igcogy)*T- 1 - ^ JS
= s pg^[ 4 y w> . B+ ^ . ^ w “) |.
Réciproquement , si ces dernières subsistent, quelles que soient les vslcnrs de », v, tu, leurs premiers membres ne seront point altérés, quand on y remplacera les quantités u, v, w par d’autres quantités », , v,, w,, propres à vérifier l’équation
Donc les équations (43), (44), déduites des formules (38), (39), entraîneront à leur tour ces formules, auxquelles on pourra les substituer tans inconvénient. D’autre part, comme on aura généralement
coi(r(«C08«+ucos,îq-uicosy))=: 1 — (ucosa+ucosï-f-mcosy)’-!- j-y-j-j (ucOBn+tcoSjî-t-mcosj'V — etc.
cos ( h • cos «) — 1 — j-jj i 1 coB 1 ri -f- ^ 4* cos* a — etc.
— 1 — (» : 4-u 3 4-u, 3 )cosVr -4- ■ ■ , ., , (u -H' 4-m ) cosV — etc.,
il suffira d’égaler entre eux les termes qui , dans les deux membres des équations (43) et (44), représenteront des fonctions bomogèues de u, v, w du degré 2n pour obtenir les formules
(45) S j«r î ' , '*(«€oi!fi-H'co* l î+>*’ eo *)') a,,| X , ')j |«r î,, '*cos î ' , af(r)| ,
al
(46) S j«BJ 2 "**(»<cosa-l-ucoaiî.)-t»cosy) 2, |/(r) | A 2 * S |i»r 2n '*cos^"a i /"(r)| ,
dont U première devra être ctendne h toutes les valeurs positives du nombre entier n , et la seconde à toutes les valeurs de » qui surpassent l’unité. Enfin , comme les deux expressions
(« cos a -+- v cos fi -1- w cos y) 2 " < A 2 * (* 3 + tt* ■+• w‘) H ,
étant développées, fournissent la première des termes de la forme
(1.2...A)(1. 2 ™ /<) (1 . 2 . . . v) * ’ u cn * “ co * <*«•* t
dans lesquels les exposants A, ju, v liés entre eux par l’équation
peuvent être pairs ou impairs, et la seconde des termes de ta forme
lu y 2 . 4 . 6 .... 2n ,
; * ~(Ï X.Ï)'(1 • 4-.ju) (27417) * ,t/V ’
1.3.. ( a - 1). 1.3. ..Qs-lj.l.a.. .(■—!) 1.2. 3... 2»
