AV -4- AV -4- AV

», (tVa - + vy v -4- vy v") ,

;=2 (sv -4- c v -4- c" v") ,

les valeurs de b", «" étant encore celles qui sc déduisent de* équations (51), (52). (53) jointes aux formules (46), (47). Alors aussi le mouvement du système pourrait être considéré comme produit par U composition de plusieurs ou même d'une infinité de mouvements semblables & ceux que représentent les équations (G4) et (76).

U est bon d'obserTer que, dans les formules (85), (86), (87), les sommes indiquées par le signe S peuvent être composées de termes très-peu différent les uns des antres, et se changer par suite en intégrales définies. Concevons, pour fixer les idées, que l’on remplace le signe S par trois signes J ' indiquant une intégration triple effectuée par rapport aux quantités u, v, w entre les limites — x, + x . Substituons en même temps aux coefficients

f &o v » fo , fio « no » *o *

f hi t| , f,, gj , tji , I» ,

et aux fonctions

a, ts , a",

«<,= <*(*), ih — ïl (r ).

des produits de !a forme

T3 a dudvdw , Hidudvdw ,

tÿdudvdw , f^dudvdw,

Scdudi dw , S idudvdw ,

&odudi dw , Çi,dudvdiv ,

f)jludvdw , îydvdvdw ,

Ijhuhdw, hdudt’dw ;

r Odvdi dw , Q dudt dw , Q dudvdw , &"dttdvdw ,

' Qjludi dui — Tl<J(v)dudvdw , 6 t dvdvdu> ~H, (t ) dudvdui.

Alors, au lieu des formules (85), (86), on obtiendra les suivantes

| £o |©oCOs(»j4^^iea)4-© 0 sin(*x+^<jH-M'î)j dvdvdw,

(92) r 0 = JZJZJZ |«oeoa(u.r+ejH-tru)+^in(H.r+ij/-f-ie-)J dudmlw ,

l Ç 0 ~J-ZJZ.J-Z {^oe«*(*^>H , y4^<H-3c ) sin(«(j'-+-iÿ+m»)| dvdvdw ,

i —J'ZJ'-ZJZ dudvdw »

(93) ; j; t = fZfZjZ |^.c° s (« j> H 3/+ u ' i )+ ^i8ln(ux-t-»3rHo-t)| dudvdw ,

?.=/:/:/: i /,c08(u.r4-t.y4"“’~)4- 3 l *iD(«J>H;y-Hü*)j dudvdw , dans lesquelles ,

B 0 , e 0 , Sot ©o, ^jo! 3 a > ®«l (u Al ©>> 3,

pourront être des fonctions quelconques de u, t>, w. De plus, les formules (60), (61), (62) donneront

(94) Ho(*) = (©«A + ©otà + A®) cosfoj 4- (©„ A 4- fjo* 4- 3 0 C) siniv ,

(95) Jf,(t>) = (B, A + C.t* 4- AO) cosi»4* (©>•*• + + 3»®) sin*» »

iUv+sît)+n,(v-sîi) . n n,(v+atyHn>(*-Qi)

(96) ®= — â +Jo 2 *’

et l’on en déduira les valeurs de 0", 0", 0'" en attribuant à A, VI, ® les trois systèmes de valeurs A', vV, G" ; A", xV, C'Y A'", xV", e'\ Cela posé, les valeurs de 5 , jj , Ç , précédemment déterminées par les équations (87), deviendront

I S =f Z/ZfZ (*'©'+*"©''+*' "&")dudvdw,

? = flflfZ ( && + e "®" + dududw ’

On peut choisir les coefficients

©0, ©o, A, ®ot f)ui 3 0 i ©t* ©M A, ®») 3»,

de manière que les valeurs de

§ 0 , JJo , :0 î b*, JJt, ttl

founiies par les équations (92), (93), se réduisent à des fonctions quelconques de x, y, z, savoir, à

(98) f 0 =y(x,it,«), r; 0 =x(x,y,z), Ç,=tp(x,y,z),

(99) |,=0(jr,ir,*), »; 1 =X(ar,j,i), Ç t =V (jr,y,z).

En effet, comme on s généralement, quelle que soit la fonction /(j\ y,*)»

toutes les intégrations étant effectuées entre les limites — », -H», ou, ce qui revient au même ,

( 101 ) = Qùffffff :ot[u(jc-X)+v^-f,)+c(z-y)\f{).,fi,y,) d/.dudrdudvdw

=^yÆÏÏ/' C0 < UJr+ '* +Wz) cos(uX+vti+wv}f(X,fi,v)dXdfidvdudvdw

J^J^jyyyyy*\n(ux-\-i’y-\-u>z)»in(u).-\+>i(-\-u>r)f().,it,v)d).dftdrdvdi'dw.,

il est clair qu'on fera coïncider les équations (92), (93) avec les formules (95), (96) si l'on prend

U,=(^) jyycos(u/.+Vfi+wr)ff{/.,fi,r)dvdfid)., <?o— (^; £ ) JJJ'ita (u}.+Vfl+tvv)([{X,fi,r)dtdudX, o Co ^^jj^fca»(ul+vn+wv) y »0« Udfidr, (td+vfi+wv) % {X,fi,r)didfidl,

I J<,z^^^jfjffios(uÂ+v/i+wr)<f(,).,/i,r)drd/td/., jy^lMiiX+vit +wt)tl>{/,ti,v)did fid/ ,

=^^^Jfjiycos{u).+vft+wr)<I)().,fi,y)dtdfidi., <?,=(—) jyy*ln(u).+Vfi+un , yi‘(i.,ii,*)d>d /ni

3 ï, =( ^JYYc 08 (ui.+t fi+wr)x(}.,!t,r)driIiid/., )j^^sin(«i^+t>^+wi')X(i,/'»>')<ii , rf/«M,

I /, =y—^Jfjycoi(uX+ifi+wi)‘t‘(}.,ti,ï)d>duil/., It—^^jyÿl'Mu/.+i’u+u/i'fi'iX.ftiVylriluiV..

Un ayant égard à ces dernières formules, ou tirera des équations (94) et (9a)

(104) llfr) =Qyjjyy [x<f (X, ft, y) + Ci X /<1 »)+£¥ ('■> /'» »)] eos O - ui. - Vfi - U» ) drdfidX ,

( 105) lh(y) =f^)JJj\x® (i.,fi, »H- tf>X U, !«,>) + (i, Hy v)] cos (** - u). ■ Vf, - I VvUvdftdX ,

ou, ce qui retient au même,

(107) /!,(■?)=;(— ^ ffJ[*\,0(l<{i,v)+\<!>x{Ji,!i,r)+£ l i'(.l,fi,y)]coB[u(jr-X)+t’(y-fi)+u>(*-v)]dvdiul)..

Si, après avoir déduit de l'équation (96), réunie aux équations (106), (107), les râleurs de 0 , 0", 0”, on les substitue dans les formules (97), ces formules représenteront les intégrales générales des équations (15) ou (16) du g 1.*', pourvu que les valeurs de a 1 déterminées par la formule (44) soient réelles, et que, dans l’état d’équilibre du système proposé, les masses m , m", tn" des diverses molécu-

les soient deux & deux égales entre elles, et distribuées symétriquement de part et d’autre d'une molécule quelconque m sur des droites tneuécs par le point avec lequel cette molécule coïncide.

Dans les formules (102), (103) et (104), (103) on (106), (107), les intégrations relatives aux variables 7. , /i, v doivent être, comme dans l’équation (100), généralement effectuées entre les limites — », -f-». Toutefois, si les valeurs initiales des

r/| dt] <fi‘

déplacements q, Ç et deB vitesses jj-, -jj-, — y c'est-à-dire, les fonctions

Ç>G r >Ji'')v x(-r,.y, c), tfj(x,ÿ,z)i 0»(a-,,y,«), A’(j,y,c), a)

ne différaient de zéro que pour des valeurs de .r, y, z correspondantes aux points sitnés dans un certain espace , par exemple , aux points renfermés entre deux surfaces courbes , deux surfaces cylindriques et deux surfaces planes représentées par des équations de la forme

on pourrait évidemment, dans les formules dont il s'agit, supposer les intégrales prises entre les limites

v = F'„(2, fi ) ,

ft = W),

* §. 3. Application det formules précédentes a la théorie de la lumière.

Supposons que le système de molécules mentionné dans les deux précédons paragraphes soit le fluide éthéré dont les vibrations produisent la sensation de la lumière. Pour déterminer les lois suivant lesquelles de semblables vibrations, d’abord circonscrites dans des limites très resserrées autour d’un certain point O, se propageront à travers ce fluide, il suffit de considérer dans le premier instant un grand nombre d'ondes planes (voyea la page 17) qui se superposent dans le voisinage du point O, et d’admettre que, les plans de cea ondes étant peu inclinés les uns sur les autres, les vibrations des molécules sont assez petites pour rester insensibles dans chaque onde prise séparément, mais deviennent sensibles par la superposition indiquée. Le temps venant a croître, les ondes dont il s'agit viendront successivement se superposer en différons points de l’espace, et l'on nomme rayon lumineux la droite qui renferme tous les points de superposition. Toutes fois, pour que ce rayon soit unique, lorsque l’élasticité de l’éther nest pas la mémo en tous sens, il est nécessaire que dans chaque onde considérée isolément les vitesses et les déplacements des molécules soient parallèles a l’un des trois axes de l’eilipsoide représenté par l’équation (36) du § 2. Alors le rayon lumineux sera ce qu’on appelle un rayon polarisé parallèlement a cet axe, et, si l'on nomme l l’épaisseur d'une onde plane, il sa vitesse de propagation, T la durée des oscillations moléculaires, on aura