S (2* — 1) (1.2..A)(1.2...fO
dans lesquels les exposants 2, ft, », sont toujours pairs; comme d'ailleurs les formules (45) et (46) doivent subsister indépendamment des valeurs attribuées à u, v, w et offrir chacune dans le premier et dans le second membre les mêmes puissances de u,v,w multipliées par les mêmes coefficients , on tirera de ces formules 1» pour des valeurs impaires de A , de fi , ou de »
S {mr 2 "' 1 f(r) cos ; «cos"/ïcos*’y J =:0 S j mi ' n1 y‘( r) cofwfcos^/icos' y J = 0
2° pour des vaieurspaires de A, i< et »
(50) s p-^co. w/ïco.*' y \ = 1 ' 3 " ( /; 1 3 ) ; 1 5 3 " ( ^'!: 3 1 ) (y ' 1 -- s 1
(51 ) S |*r».-3y(r)co. i «co^co 8 'y j = | S j’"' > 'V(’0 cos 2 ",
le nombre « dont le double équivaut i la somme + v ponvant être quel-
conque dans les équations (48), (50), mais devant surpasser l'unité dans les équations (49), (51). Ainsi en particulier, l’on conclura des formules (48), (49), en posant n = 1,
S Jmrf(r)cos/ïcosy J = S jmr f(r) cos y cos a j ~S j sir f(r)coso cos/îj =0
S j mr f (r) cos’ a j = S j mr f (r) cos’/î j = S [ mr f (r) cox‘y | ;
et des formules (49), (51), en posant n — 2 ,
8 J mrf(r) cos j? cos 'y | := S \mrf{r ) cos y cosV } = S j mrf(r) cos « cos’ j. i {
— S J mry'(r) cos 5 fi cos y j =rS J «r y(r) cos 1 y cos a j — S J mrf(r) cos 'a cos /f J =0,
s !"'•/('•) cos’^eos 1 y ; = S | w»-y(r) cos’ycos'u | =: S \mrf(r ) cos’orcos’/Sj
= 5 S î mr/(r ) cos*« | =;S }*tr/(t-)co&' J tl { = S J mrf(r) cos*/l j
Ajoutons que des formules (48), (49), (50), (51) on peut remonter immédiatement au* formules (41), (46), par conséquent aux formules (43) (44), ainsi qu'aux formules (38), (39). Donc en définitive les formules (48), (49), (50), et (51), étendues ik toutes les valeurs positives du nombre entier n, ou du moins, s’il s’agit des formules (49) et (51), aux valeurs entières de n qui Surpassent l’unité, expriment les conditions nécessaires et suffisantes pour que l'élasticité de l'étbcr puisse être censée rester la même en tous sens autour d'un point quelconque.
Lorsque ces conditions sont remplies, on tire des équations (10) et (11) jointes aux formules (43) et (44)
0 = 8 r j — cos [ l r C0|I (( )J j ,
D'autre p»rt, li, après avoir bit, pour abréger ,
on désigne par
dK' ~dK‘
le* dérivées du premier et du second ordre de *P considéré comme fonction d« K , on trouvera
dK d» :
dK
dv
dK
div
et par snite
lü=^'
dv
dï=*"'
dv*
Ku conséquence les formules (8), (9) donneront
(56) t=D+ c < , -t-» !c V", 9tt=:0 + a V'4-u*T>’ ,
(57) <S — vufV ' , =
dwdu
= wvTP' ,
dudv
— uxfV ,
3î=D+”V-+-u. w P" SA — ut/’V"
et I équation (7), c'est-à-dire l'équation de l'ellipsoïde qui détermine ica loix de la polarisation deviendra
(58) C V’ («X+- t»y + «os )* -H (O + CI P‘) (x*-f- j 3 + a 1 ) = 1
Pour reconnaître plus aisément la forme de cet ellipsoïde concevons que l’on fuse coïncider l’axe des x avec la droite OP perpendiculaire au plan de l’onde. Comme on aura dans cette hypothèse
U formule (34) donne»
et la formule (68) aéra réduite k
D'ailleurs, en vertu de ce qui a été dit plus haut [page 15] les valeurs de O, "P et par suite celles de •V’, ’V" ne varieront pas dans le passage de l’équation (58) à l’équation (59). Maintenant il est clair que l'ellipsoïde représenté par l'équation (59) sera de révolution autoar de l'axe des a , et que dans cet ellipsoïde le carré du rayon de l’équateur sera égal au rapport
le carré du demi-axe de révolution étant
Au reste la discussion de l’équation (58) conduirait immédiatement aux mêmes conditions. Ainsi, comme nous l’avions prévu [page 7], lorsque l’élasticité de l’éther est la même en tous sens autour d’un point quelconque, l’ellipsoïde qui détermine les loix de polarisation d'une onde plane est de révolution autour de la droite perpendiculaire au plan de l'onde; et dans cet ellipsoïde l'axe de révolution et le rayon de l'équateur ne dépendent pas des quantités a, 6, c, mais seulement de la quantité k renfermée dans les valeurs de O, “T* que fournissent les équations (52) et (53). Ajoutons 1“ que les formules (53) et (55) jointes k l'équatiou (54) donneront
td*P , C' 1 * '« L sin (kr cos g) ~j |
k dk~^\ r L kr cos u J )
1 i W 1 cos Tain (kr cos «) 1 )
™ * dk k* I r L kr cos a J )
2° qu’en développant suivant les puissances ascendantes de k les derniers membre* des formules (52) , (62) et (63) on eu tirera
0 = A . S ^ S _____ r + * S i .2.3. 4.576- etc -
-p. ..""' A')™'* ,.. fl ” r, /( r ) CM * a , t . s mr *A r ) eot '‘ a
mrf(r) cos*c« . mr'f(r) cos'ot mr* /"(»•) cos‘<x
(66) ^ . 3 ■- w,s iiii>^ 6W Ti&r
■ etc.
•etc.
Chacune des séries comprises dans les trois formules qui précédent offre, pour coefficients des puissances paires et ascendantes de k, des sommes dans lesquelles la fonction f (r) ou J (r) se trouve successivement multipliée par
etc.
D’ailleurs l’action moléculaire, par conséquent les fonctions f(r) , f(r) ne conservent de valeurs sensibles que pour de très petites valeurs de r; et comme d’autre part, r étant une quantité très petite du premier ordre, r’, r’ seront des quantités très petites du troisième, du cinquième ordre, 11 est clair que dans les séries en question, les coefficients des puissances successives du k doivent décroitrc très rapidement. Si l’on réduit ces mêmes séries à leurs premiers termes , on obtiendra seulement des valeurs approchées de
et alors, en faisant pour obrégér (67)
0 OTrf(r)cos î « m h 5 — à = / 1
tnrffr) co» 4 «
on trouvera
(68) O = *’/, = * 2c 3>" = 2it
En vertu des formules (5) et (68) , les équations (56) (57) sc réduisent à
(69) ^-(2R n , +R + l)k\ on = (2Rb , +R+r)k‘, X = (2Rc‘ + R + I)k\
(70) <£ = 2Rbck\ Z=2Rcak*, ■A = 2Rabk‘.
On aura d’ailleurs, en vertu des formules (50) et (51) jointes aux équations (67),
f(r)cos’}'
„„ » c mr f co *’ “ D *»' <(*•) «os 1 ? „ •
(71) i s jTâ — n — = s *
O c «0»* *°*V 0 «'•/(»•) coi* ■/
O mr f (r) cos * i* c ®» ! 7 c. mr / (0 C0 * J y «os* « „ «y /(r) cos ! « CO* V
— 1.2 ~ s 1.2 s ÏT2 *
et par conséquent le* coefficient* représentés ici par le* lettre* / et K ne différeront pas de ceux que déterminent les formules (37) , (39) de la page 199 du 3' volume de* exercits des mathématiques. Cela posé, il suffira évidemment de dit iser par le* valeurs précédentes de
■i, Oit, DE, î, a,, ta
pour obtenir, comme on devait s'y attendre, celle* que fournissent les équations (45), (46) de la page 27 du 5* volume.
S) nous désignons, comme nous l’avons fait cidessus [§ 2], par s , s " , s" les trois valeurs de s correspondantes aux trois rayons polarisés dans lesquels se divise généralement un rayon quelconque.
seront le* carrés des trois demi-axes de ('ellipsoïde qui détermine les loix de la polarisation. Donc , lorsque cet ellipsoide, étant de révolution, sc trouve représenté par l'équation (58), ou ce qui revient au même par l'équation (59), deux des rapports (73) sont égaux à l’expression (60), et le troisième à l'expression (61), cnsortc qu'on peut prendre
Alors aussi, en vertu des équations (3), (74), et (75), les trois quantités
ST
c'est & dire, les trois vitesse* de propagation de* trois ondes planes dans legqucllc* se divise généralement une onde primitive de lumière non polarisée, sc réduisent à celles que déterminent les formules
SI 1 = Si ' 1 =
Si’" 1
Par suite, des trois ondes planes dont il s’agit les deux premières, se propageant arec la même vitesse, se superposeront de manière à n’en plus former qu'une seule, dans laquelle la lumière sera polarisée parallèlement au plan de l’équateur de l’ellipsoide représenté par l’équation (58), ou, ce qui revient au même, parallèlement au pian de l'onde primitive, tandis que dans la troisième la lumière sera polarisée perpendiculairement à ce plan. Cela posé, la troisième onde disparaitra si les déplacements et les vitesses des molécules l ibérées dans le premier instant sont parallèles au pian de l'onde lumineuse, et alors il n'j aura plus de polarisation. Au reste, pour que la polarisation de la lumière devienne tout a fait insensible dans les milieux dont l'élasticité est la même en tous sens, il n'est pas absolument nécessaire, que la troisième onde disparaisse, et il suffît comme un jeune géomètre M. Blauchet en a fait la rémarque, que le rayon correspondant i cette troisième onde soit du nombre de ceux qui échappent au sens de la vue. On conçoit en effet, qu'en raison de la trop grande ou trop courte durée des oscillations de l'éther l’oeil peut cesser de percevoir certains rayons, de même qu'en raison de la trop grande on trop courte durée des oscillations des molécules aériennes l'oreille cesse de percevoir des sons trop graves ou trop aigus, et l'on pourrait encore supposer l'oeil orgauisé de manière à percevoir les vibrations des molécules éthérées, quand elles sont dirigées dans les plans des ondes lumineuses, mais non lorsqu'elles deviennent perpendiculaires à ces mêmes plans. Quoiqu’il en soit, en faisant abstraction de la troisième onde, désignant par T la durée des oscillations des molécules éthérées et posant [voyez la formule (3))
on aura, en vertu de la formule (74),
on ce qui revient an même, eu égard aux formules (52) et (62) ,
ou bien encore, eu égard aux formules (64) et (65),
(80) J7y~ [((O + (/(«*) cos 2 <*] j— *‘sj^^-^[f(r)+|/( r )co* , a]|
\ mr 1 cos* a
jl .2.3.4.5 6 + co *’ “1
— etc.
Telle est l'équation qui, dans un milieu dont l'élasticité reste la même en tous sens, lie entre elles le* deux quantités
Su 2rr
*=-ÿ et * ~~T'
par conséquent les deux quantités T et l, c’est-à-dire la durée des oscillations moléculaires du fluide éthéré, et l'épaisseur d’une onde plane.
Lorsque dans les équations (74), (75), (76), (77) on substitue 4 O , ’V . t 'P ' leurs valeur* approchées tirées des formules (68), on trouve
= F(3JÎ-4-/),
ü' ‘ = Sï ’’ = R + / ,
C"' = 3jR + /.
Il suit des denx dernières que, dans un milieu dont l’élasticité reste la même en tons sens, les vitesses de propagation des ondes planes correspondantes au rayon visible et au rayon invisible ont respectivement pour valeurs approchées
ce qui s’accorde avec les résultats obtenus dans le troisième volume des Exercices [page 41].
Passons maintenant au cas ou l’élasticité de l’éther reste la même en tous sens non plus autour d’un point quelconque, mais seulement autour d'un axe quelconque parallèle à l’axe des a. Alors les conditious (38), (39) devront être remplies seulement pour les valeurs de u>, propres à vérifier les formules (41). D’ail-
leurs on vérifiera ces formules en supposant
(86) s», = 0, ur 1 = u>, », = + V (“’ + '’’) = + V(^ — se 2 ) i
et en vertu de cette supposition les conditions (38), (39) deviendront
Î S | — [1 — eos (r(«cosa + ticos/i-|-u>cos y))]|
= « W l — eos (»■(-£ (u 1 -1- té)’ coi o +t’cosy))]| >
\ 8 J — r — I * ( wc08rt + l ' C0 V+ M/C0fi / ) + \n • >
( = sj^[* ( ± ( M Wc OS ^o. y y+ co<(r(± ^ ""H"*)] '
ou. ce qui revient au même.
|j S j— ~~^[i — ces («■ («cosfr -j- venu/) ■+■ leçon y))] |
| =: S j ** * - [1 — ce» (i* (■+• (d* — ic 1 ) coaa4*mco»)'))J j ,
^ g [^co^vco^^yY + J
( = s jsffiî [twe-^eo'a+vco
le double signe + pouvant Dire réduit arbitrairement soit au signe -f- soit au signe — . Réciproquement, si les équations (89), (90) continuent de subsister, tandis que u, v, carient mais de manière a vérifier toujours la formule (34) ou
s ! -f r 1 = (P — te 1 ,
elles ne seront point altérées quand on remplacera dans leurs prémiers membres les quantités a, » par d’autres quantités a, , v, propres a vérifier la formule
a, 1 + v* = t? — ic 3 = a 3 + f’ ,
et par conséquent les équations (87) et (88), ou (89) et (90), que nous avons déduites des formules (38), (39) jointes aux formules (41), entraîneront à leur tour ces formules aux quelles on pourra les substituer sans inconvénient. Donc, pour que l'élasticité de l’éther reste la même en tous sens autour d’un axe quelconque parallèle i l’axe des t , il est nécessaire et il suffit, que les formules (87), (88) subsistent non seulement quelles que soient les valeurs de iv , mais encore quelles que soient les valeurs de u, v. Or s’il en est ainsi, en développant les cosinus que ces formules renferment en séries convergentes, puis égalant entre eux les termes qui dans les deux membres des mêmes formules représenteront des fonctions homogènes de a, o, le, du degré 2», on obtiendra les équations
(91) S î»i»- î "" , (ucosa-H)C08 J î+wco*y) 2 "f(r){ =S î<w/- 2 "' 1 (±(« ! +t , ) coso+it'co»y) î " ((»•)(, et
(92) 8 i W î "* 3 (i«:oia-H»to» t î+«w;o*y) î, ^(>-){ = S j*»r 2, *" 3 (+(»i 1 + v , j''co8«+wcosy) 2 ’y(^)|,
dont It première devra être étendue à toutes les valeurs positives du nombre entier n , et 1a seconde à toutes les valeurs de n qui surpassent l'unité. De plus, eu développant les expressions
(ncosa+fcos/S-t-tocosy) ", (+(i»’ -f-e') coscr-(-uieosy) 2 "
suivant les puissances ascendantes de te dans les deux membres de chacune des formules (9i), (92), on tirera de ces formules 1° pour des valeurs impaires de y
(93) S Lr 2 ' , - 1 f(rX«COS« + ,.COs /ï ) 2 '-co/ y ! = +(«*’+ r’) 1 S j«#r 2 "' , f(r)co* 2 ' , '''«co*’'y|, et
(94) S îmr î "■'y(rX«cos^^-HlCOS i î) < "'’'co8';'j=■i : (l» , ^-t- , ) T S î«Ftr''' , 'yr)cos 2 "'’'aco* , 'y!,
le double signe Jh pouvant être remplacé i volonté par le signe + ou par le signe ;
2° pour des valeurs paires de y
(95) S îmr 2 "' , f(rX*cos«-H>cos/»y‘"‘’'co*'y, = (st’-f-té) 7 S Jmr " l ' , l(r)cos ï "'\t cos’)-| 1 et
2ic i
(96) 8 !s.r 2 "- 3 /(rXnco8«-H f cos,î) 3 "'"co» , 'y; = (atHV) ’* S ! W î "- 3 /(r)coH 2 "- , «eos’'yî,
Les équations (93), (94) n’étant pas altérées tandis que leurs seconds membres changent des signes, on doit en conclure que ces seconds membres sont rigoureusement nuis. On aura donc pour des valeurs impaires de y
(97) 9 !«nr 2n * 3 f(r)cos 2 "" K u cos *y j — O,
(98) 8 |*»r 2n * 3 y(r) cos 2 " * a cos *yj = 0 ,
et par suite les équations (93), (94) se réduiront à (99)
S j»ir 2 "' 3 /(r)(i»cosa + t'eo*/î) 2 "'* cos^yl = 0.
S Jser 2 "* 1 f(r)(ucos a 4-ecos /f) 2 "’* cos’yj = 0,
Enfin, comme les deux expressions
(»cosa-)-t'Cos tf) 2 "” r , (u 1 e') T
étant développées fournissent la première des termes de la forme
i.2..7)(1.2...,-) “ " co * OCM ^
dans lequels les nombres 1, fi, y liés entre eux par l’équation
(47) A + fi -f- y — 2«
peuvent être pairs ou impairs, et la seconde, lorsque v est un nombre pair, des termes de la forme
1.2.3.,.(n-D „t^ a.4.6-(2«.-r) r .t. J) 1.3..(^-l)1.3..( /t -l) 1.2.3..(2»-r) 1 u (lJ2...i) (1.2...'“) (2.*.. a) (2 .4.. .u) 1.3...(2«-s-l) (lJ..AXl-2-^)
dans lesquels l, fi sont pareillement des nombres pairs, on tirera des formules (99), (100), (95) et (96), 1° pour des valeurs impaires de 7, de n ou de y
S r 2 ""*f( r ) cog cos^^ cos K j'{ = 0 ,
S jmr''
ei
S jmr
2° pour des valeurs paires de /. , u et v 2«-l
(101) S {air 3 " * fl(r)co8 * acos “ ,(cos * yj =: - j- ^ ^ \ïn v ~~l) ^ !* n ‘ :!,, " 1 f(*")cos 2 "‘'rtCoa > y|
(102) Sjmr V(i-)cos*«cos- ,fcos>'yj = ( "3' 5 ~( 2 i» . v . 1) 8 f""" Tl’’)' 08 “««* A
le nombre entier n dont le double équivaut à la somme / ■+• v pouvant être
quelconque dans les équations (48), (101), mai* devant surpasser l'unité dans les équations (49), (102). U importe d'observer que les conditions (48), (49), déjà obtenue* dans le cas, ou l’élasticité de i’étber était censée rester la même en tous sens autour d'un point quelconque, renferment comme cas particuliers tes conditions (97), (98). Ajoutons que des formules (48), (49), (101) et (102) on peut remonter immédiatement aux formules (99), (100), (95) et (96), ou même aux formules (91), (92), par conséquent aux formules (89), (90) qui peuvent à leur tour être remplacées par les équations (38), (39) jointes aux équations (41). Donc en définitive les formules (48), (49), (101) et (102), étendues à toutes les valeurs positives du nombre entier k, ou du moins, s'il s’agit des formules (49) et (102), aux valeurs entières de n qui surpassent l’unité, expriment les conditions nécessaires et suffisantes pour que l’élasticité de l’éther puisse être censée rester la même en tous sens autour d'un axe quelconque parallèle h l’axe des x.
Lorsque ces conditions sont remplies, on tire des formules (10) et (11) jointes aux formules (87) et (88)
im f(r) 4 1
(103) 0 = Sj — - — [1— cosr (+(•'•+• t»*) cosa-Hocosy))] j ,
et, comme dans ces dernières on peut supposer le double signe + arbitrairement réduit soit au signe + soit au signe — , il- est clair, qu’on pourra prendre encore pour valeur de X) ou de *9 la demi-somme des résultats obtenus dans ces deux suppositions. En opérant ainsi, et ayant égard aux formules
((ar-4-u ! ) cosa -f- mcosy) 2 -f- ( — (i^-4-u 1 ) cosa^-iocosy) 2
g = (u 1 + té) cos« -J- uécoa’y .
cos(r((« , -4V) cosa+iocosy))-t-cos(r( — («HV) cosa-+-mcosy))=cos|H«< 3 -H ,! ) co*n|cos(rioco»y) ,
on trouvera (105)
O = S j -* - [1 — coa [r (^-è-ti’^coso, cos(wcosy)] j ,
(« 2 -4-ti’)cos ! «-4-U) , coa I y cosjr(u* -4-i)')\o»f[} cos ( riocosy)'! i
2 + ? jj
En résumé t> cl "P seront seulement fonction» de» quantité» variables
td •+• v* et le’.
D'autre part, »i, après avoir fait pour abréger
(107) JÇ. = î («* + »’), K, = î to*,
on désigne par
les dérivées du premier et du second ordre de *9 considéré comme fonction» de K, par
le» dérivées du premier et du second ordre de "V considéré comme fonction» de K», et par
la dérivée du secoud ordre de °V diflerentié une fois par rapport à chacune des variables K,, K,, on trouvera
et par nulle
dK% dK i dKj
"* =■’ ~dï = "' 7w = w '
