S [m/(r)r co* a

( i5 ) | = s|n» +S[«»/(r)fCos.l 3,

~ = sim-^- +S[*/(r)tcos ? ],

ou, ce qui revient au même

ÿ g L f(rHW«/M J% A j +S j, ™"°CO*y/(r) j; j,

g S L cosiltos g/(v) jç j +s j w gjO± J + S^m CO,(tCOS j/ (r \ 1; J,

f S m m i T *”A r ) j* ! +s L jr ( -h.sL f(r) ~ Ho - , ^ --J-r|'

Telles sont les équations propres à représenter le mouvement d'un système de molécules qui, étant sollicitée* par des forces d’attraction ou de répulsion mutuelle, s écartent très-peu des positious qu’elles occupaient dans un état d'équilibre du système.

§. 2. Intégration des équations établies dans U paragraphe précédent.

Quelles que soient les valeurs générales Je f, r t , Ç propres à vérifier Ica équations (16) du paragraphe precedent, on pourra toujours les supposer développées en séries d'exponentielles dont les coefficients soient des fonctions linéaires des variables indépendantes x,y, x. En d’autres termes, on pourra représenter f, ij, Ç par des expressions de la forme ^

u , P. xv désignant des constantes arbitraires, mais réelles, a, b, ( des fonctions réelles ou imaginaires de x, y, x, t , convenablement choisies, et le signe £ Indiquant une somme de termes semblables les uns aux antres, mais correspondants à divers systèmes de valeurs des constantes arbitraires u, v, w. Cela posé, soient b, r, f les parties réelles des fonctions a, b, c, et — g, — i|, — i les coefficients de y 77 dans ces mêmes fonctions. Les formules (1) deviendront

I — V (J — g y —,) e iux+*y+n>*)V~ , t] = r (t - 1) y~) e («Jr+vy+a-iiyT^ t Ç — v-(f i y — ) e (« x +ey+wî)V~,

Comme on aura d'ailleurs

(3) e (*r+t>y+«»*)V— i ‘=Scos yrTaln (icr + ry-t-lM),

on tirera des équations (2), en développant les produits renfermés sous le signe -, et supprimant les parties imaginaires dans les valeurs de ;, iy, ç qui doivent rester réelles ,

( g — ^ [ï cos (w.r -j- vy + ioc) -f- gsin («a- -f- vy icc)] ,

(4) / y = 2 [rcos( uj-t-t>y+U)j)4-li8in(u.r-|->i^-|-it'c)], ,

( Ç=i[fcos( tar+vy+iat) -f isin (ux +t;y -f-wr)].

Soient maintenant

et

Les constantes a, b, c vérifieront la formule

et représenteront les cosinus des angles formés par une certaine droite OP avec les demi-axes des coordonnées positives. De plus, comme on tirera des équations (6)

(8) u — ta, v — tb , w—kc, et par suite

(9) ux + vy+tvz—k^ox + by + ct),

il est clair qu'en posant, pour abréger,

on réduira les équations (4) aux suivantes

I £ — ~ (iCOsXv ■+> jJMUÀY-) ,

(H) } «;=rJ(rco*lr4-i)siiiib'),

[ Ç=5(fcosl>-l-isiQAi').

Alors v représentera la distance du point (x, y, a) à un pian O O' O' mené par l'origine et perpendiculaire au demi-axe OP, cette distance étant prise avec le signe + ou avec le signe — , suivant qu'elle se mesurera dans le même sens que le demiaxe OP, ou en sens inverse, 1 partir du plan OO/O' dont l'équation sera

(12) ojr-f-èy-l-cj=0.

Il reste à faire voir comment ou pourra trouver les valeurs des coefficients t, », f, g, I), i exprimées en fonctions de la variable t et des constante» arbitraires h, o, b , c. On y parviendra sans peine, à l'aide des considérations suivantes.

Considérons d'abord le cas particulier oti chacune de» inconnues £, i], Ç serait représentée par un seul des termes compris sous le signe 2 dans les formules (11), c'est-à-dire, le cas où l'on aurait

/ f =:ïcosÀi-4-g8ini-i»,

(13) é r^rcosif + ilBinihf,

( Ç— f coaJtv •+• i ainibr.

Alors, en indiquant par la caractéristique A l'accroissement que reçoit nne fonction de x, y, a, quand on fait croître x de Ax, y de A y , x. de As, et par la lettre â l’angle que forme le rayon r arec le derai-aie OP, on trourera

(1*) coadmocoao-f-icoa/î + ccoay;

puis on tirera 1.® de l’équation (10), jointe aux formules (4) du §. l. ,r .

et par suite

Av — aAx ~{~b Ay + c A v—rco* â.

A cosfcr = co* (kv+kAv) — coh(JIi)

— — [1 — cos(ÜTCOsd)]coslv — sin(irc 08 ci).«inÀv ,

J sin kf — sin (ür + k Av) — slu (4r)

— — [1 — cos (Arcoad)jslnihr -1- sin (Xrcosd)cosJh' ,