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reste la même dans les différents milieux. Mais l’épaisseur l des oodea lumineuses, aussi appeliée longueur d’ondulation, et par suite le rapport
devront, si l’on adopte la théorie exposée dans ce mémoire, se trouver liés à ls vitesse de propagation
par la formule (1) ou (5) du § 6, c'est à dire, par l'équation
; = Q* = s, + a, JP ■+■ ai JP -f- etc.
en Terlu de laquelle SI' se développera en une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de k. D’ailleurs, en posant comme dans le § 6,
(5) b,= —, b, = — — , b, = -j , etc.
on tirera de l’ équation (4)
Id — . b, s* H" b, s* -f b,s*“{- etc.
Les coefficients a,, a,, a,, .... b,, b,, b, . . . , que renferment les seconds membres des équations (4) et (5), dépendent de la nature du milieu dans leqnel se propage la lumière: les quantités k, Q dépendent en outre de la valeur attribuée à s, c’est à dire, de la couleur. Dans le vide, et dans Ica milieux qui ne dispersent pas les couleurs, par exemple, dans l'air atmosphérique, les coefficients
s'évanouissent; alors la formule (4) réduite i
exprime que la vitesse de propagation f2 est indépendante de s, et s 1 proportionel 1 JP.
Concevons maintenant que, les valeurs de { et de fl étant relatives i l’air atmosphérique, on désigne par
(8) k'zzOk,
ce qne devient U quantité k lorsqu'on substitue à l'air nn autre tnüien. La valeur de 0 déterminée par l’équation (8). ou, ce qui revient an même, par l’équation (16) du § 5, ne sera autre chose que l’indice de réfraction d’un rajon lumineux qui passerait de l’air dans le nouveau milieu que l’on considère ; et là formule (6) dev iendra
(9) *' 1 = 0‘i J = b 1 s*4-b s s , 4-b,s'4«ete. ..
Si dans cette dernière formule on remplace s par sa valeur tirée de l’ équation (3), on trouvera
(10) 0* = b, fl 1 4 - b, fl* a* 4 - b, fl* a* 4- etc
Donc, en posant pour abréger
(11) b» ^2* = «, b,fi*=b t b,fl* = c, ete
on aura simplement
(12) 0’ = a 4- b a’ 4- ta* 4- etc
On ne doit pas oublier que dans les formules (10), et (11) fl représente la vitesse de propagation de la lumière dans l’air, vitesse qui reste la même pour toutes les couleurs.
Soient maintenant
es valeurs de 0 relatives sux rayons
de Frauenhofer, et
*11 *11 *» 1 *• 1 *il *8 1 *T
les valeurs correspondantes de e. SI l’on désigne par i l’un quelconque des nombres entiers
et st l’on pose en outre
(13) ©; = 0;’, la formule (12) donnera
(14) 0; = « + b»,-’ -f- fa;* 4- etc. . . .
Or, il résulte des calculs développés dans les paragraphes 6, 7, 8 qu'un peut, sans erreur sensible , réduire le second membre de l'équation (4) ou (6) , et par conséquent le second membre de la formule (14) i ses quatre premiers termes. Donc cette formule pourra s’écrire comme il suit
D’autre part on pourra encore négliger J' O; dans le premier idembrc de la formule
(11) du § 7, et réduire cette formule à
(16) S- = 0 + (U' - 0) pt+[U" - 0 - (V — 0) S -fi t ] U
+ \V" — © — (U' — 0) S"' — [17" — 0 — (ü'— 0) S" pi] S" ni â { ,
lea valeur* de
étant celle* que fournissent le* équation* (10) et (6) du § 7, savoir,
I „ l on ®. + 0. + 0» 4- ©« + ©» + 0.
9 = ÿSOi- ,
XJ ’ zz S * 0 t * — Oi •+■ — 0 j»
XJ”— S ” Qi 23 — 0i — 0 î + 0i + 0» + @i + @a — 0J»
XJ S”’ 0,* r: — @i + ©a + 0» — 0* — + 0* + Si ;
el l’on llrcra de ces dernières équations combindes avec la formnle (14)
0 = 0 +yS ,’+ yS .*+ y Sa,.*,
V = « + bS* V + <s' tf + tS'if,
U"=za+ b S" *,* -4- tS"q' + > S"*,-',
les notation* S*,-*, SV’, S"*,- 1 , S"*,-’; S#,-*, etc. . . . exprimant ce que deviennent les sommes désignée* par 86,- , 8'© /t S'©,-, S"'©,- dans les équation* (17), quand ou y remplace 0; par S,-’, ou par S. 4 , etc.... Enfin, 11 est clair que la substitution des*valeurs de
fournies par lea équations (15) et (18), transformera les deux membres de I' équation (16) en deux fonctions linéaires des quantités
qui varient avec la nature du milieu réfringent. Or, ces deux fonctions devant être égales entre elles, quel que soit le milieu réfringent, on peut en conduire que dans l'une et l'autre les coefficients des quantités (19) devront être les mémeB. Par suite, l' équation (16) devra continuer de subsister, si dans cette équation, et dans le* formules (17), on remplace ©,■ par l’une quelconque des quatre quantités
ce qui revient & supposer, dans les formules (15) et (18), l’une des quantité* o, b, r, b réduite à l'unité, et les trois autres à séro.
Remplacer ©,■ par l'unité, c’est substituer l’air an milielt qnl devait réfracter la lumière. Alors on trouve non seulement O; ~ 1, mais aussi
et l' équation (10) devient identique, comme on l’a déjà remarqué (page 153).
Remplaçons maintenant, dans l’équation (10), 0; par a,-', n désignant l'an de trois nombres entiers 2, 4, G ; et faisons pour abréger
1 D ai" + »’ 4- *’ 4- a," 4- »>" 4- »•’ *H »>’
ç =yS,- = : ,
ç' = S' tf = i,* + 4- a.” — — a,*,
ç'' = S '' »{ ~ — a,* — a," 4- •$’ 4* »«* 4* II* 4» *«' — *r“,
ç'"= 8 !.■ = —«,' + *»’ + Si" — a.” — a,* 4- a 5 * + a," :
l’équation (10), jointe aux formules (17), donnera
(22) *,•“ = Ç 4- (?'— ç) A' 4- V — S — (e' — ç) S" fi t ] y f
4- k”’— ? — (s — ç) S'"ft — [ç" — ç — (ç’ — ç) 8’ A*] 8"Vfl A-
L’ équation (22) fournira pour a.* des valeurs approchées de divers ordres, si l’on réduit la polynôme que renferme le second membre au seul terme g, oïl à la somme de ses deux, trois, quatre premiers termes ; et, si l’on nomme
d i. m , d' tf, d' d'if
les différences finies des divers ordres qui doivent compléter les valeurs approchées dont 11 s'agit, on aura rigoureusement
— Ç 4- (g— ç) Pi
— ? + («'—?)&• 4- [?"—?—(?'—?) S" Pi) r { 4- d’tf ,
= ç 4- (s’—ç) Pi H- [?' — ?—(?' — ç) s " Pi] }’»•
