H * HT

En substituant les valeurs precedentes de J'i , Jr t j, J,' dans les équations (16) § 1.", et Taisant, pour abréger.

.*<-) sln’( i r '

f ircotJ ^

| 2wi/(r) C0g , o|ill i|

' ircosd \ ) ’ > 2

on = s

j 2mf ^> tln’l

1 i + Sj

! 2 ^ r > cos'/îsin’ (

r 1-rcosd \ ) ,

ot = s|

2mffr) ,v(

fcrcoscf ^ 2 '

2mJlr) cosVsin>(

' frrcnsd ^ )

* = e../»eo.y.l.*(±^!i) J *

ü. = S cosycososiu' ^ treosâ ^ | t

( {R = S |— co8gco>faiii*^- * rC ^ - - ^ | *

J = S |..^> «in(Jb-cosd ) j -f-S | "•^ r - cos 1 ttsin(lrcosJ )j , •' On' = S | . sin(Xrcosd)! -f-S | i eo» ! /?sln(ircosd)j »

31 ’ = S| ^ sln(ircotd)j +S | ^ cos’/sinflTCoad ) ,

! V* = S r } coR.îcns vainf Trcos J ) j , f lr 5

O ' — eosycosashi(lreos<>) ] ,

Kl' — S bgi co(a cos(îsin(T» cos() ) | ,

i conclura

dï =

dt 1 —

dt' ~

f 0 ,dî dr t dt \

- ai + i*>; + 2.?) + j;+‘ A */’

- («vl+.^»;+*:)+(ai'S+ w 'ê+*' §) •

- (24 +** + 5tï) + g+«' •

Les équations (24) se simplifient lorsque, dans l'état d'équilibre du système proposé, les masses des molécules m, m, tn", etc...., sont deux à deux égales entre elles, et distribuées symétriquement de part et d'autre d'une molécule quelconque m sur des droites menées par le point avec lequel cette molécule coïncide. En effet, comme la valeur de cos 3 déterminée par l’équation (14), et par suite les termes dont sc composent les sommes indiquées par le signe S dans chacune des formules (22), (23), changent de signe en mime temps que les cosinus des trois angles a, /?, y, il est clair que ces termes, comparés deux à deux, seront, dans le cas dont il s'agit, équivalents au signe près, mais affectés de signes contraires. Donc alors les coefficients désignés par 911 ', DS', *£', 2,', tft' s'évanouiront, et les équations (24) sc réduiront i

jP =~a»+lff>;+2.Ç)v

!?==-- (w£ +Dit»,+<?Ç),

Les équations (25) fournissent le moyen de déterminer, au bout du temps f, les trois fonctions t;, Ç, ou, ce qui revient au même, les six fonctions b, r, f, g, I), i, lorsqu'on connaît les valeurs initiales de ces mêmes fonctions et de leurs dérivées prises par rapport à /. En effet représentons par

!•» IJov

les valeurs initiales de

h, fs, Us, 0o, Ijo, t»v

et par

ç ■ , iji i r» i » f« > « » 8* » > >• >

les valeurs initiales de

df dij dÇ di dt df rfg rfh dl

dP dT ’ -*■’ dT’ "dT* d« ’ "dT

On sur», en vertu des forantes (13),

Ç 0 = S(,eo»Jhe ■+■ g,,sinl'. , fja = t.cosiv + IjgSini» ,

Ça = facosl'v + iosintr ;

— t>,cosiv + g.sinfc , r, ~ r,ro«ir + Î),h întv ,

Ç, f.cosJh? + i i»lni» 5

et l’on pourra déduire des équations (25) les valeurs do Ç, q, Ç, relatives à un Instant quelconque, en suivant la méthode que nous allons indiquer.

Soient A, t5, G Ica cosinus des angles que forme, avec les demi-axes de* .r y, z positives, une droite OA menée par l'origine, et prolongée dans un certain sens. On aura

et la droite OA sera représentée par la formule

Soit encore

a = AS -+• t>S>; + Cf.

La valeur de a déterminée par ta formule (30), représentera le déplacement de la molécule m mesuré parallèlement à la droite OA, et sera positive si ce déplacement se compte dans le même sens que la direction OA, mais négative dans le cas contraire. D’ailleurs, si l’on combine par voie d’addition les formules (25) après avoir

multiplié les deux membres de la première par X, de la seconde par VI, de la

troisième par S, et ai l’on choisit <A>, VS, ©, ou plutôt le rapport — — , ,

de manière que Ica trois fractions

£jt+attis+a.e mx+dri\*>+<S3 j^M-Tvs+gto

deviennent égaies entre elles, on trouvera, en désignant par s 1 , la valeur commune de cea trois fractions

rf'a

dt'

Or il existe trois valeurs de s» propres k vérifier la formule

ifui+oitvs+ïe a a.-HÇVS+3t© X iS c

et par conséquent les trois équations

/ (4L — s 1 ) X -f-yi — o ,

’ 9lA + (sm.— « s )tt + ÏC=o,

desquelles on tire

1 a.A + Tv54-(3t — *’)3=o.

(35) (t— » J )(i>lt— **)— i’faiV-s

De plus à ces trois valeurs de »’ correspondent trois systèmes de valeurs pour les VS S

rapports —, et par conséquent trois droites OA', OA", OA"’ avec lesquelles

on pent faire coïncider successivement ia droite OA- Enfin il résulte de la forme des équations (34) que ces trois droites se confondent avec les trois axes de la snrftce du second degré représentée par l'équation

(36) ^.x î + Dn.y , + 3tï* + 2<f yi + 2a„*x-|-2aixy = l.

x , y , a désignant de nouvelles coordonnées relatives k de nouveaux axes rectangulaires qui seraient menées par le point O parallèlement aux axes des .r, y, <| et l'on peut ajouter que, dans le cas oh cette surface est un ellipsoïde, les trois valeurs de *' sont précisément les carrés des trois demi - axes. Donc, i l aide de la formule

(32), on pourra déterminer, au bout du temps t, les trois déplacements de la molécule m mesurés parallèiuent aux trois axes de l'ellipsoïde, et par suite à trois droites perpendiculaires entre elles. Si l’on désigne ces trois déplacements par a', a", a'", et les râleurs correspondantes de A, C par

on tirera de la formule (30)

Î a « A # § + vy tj + © # l , e"=A"| + ift> + e"f,

a"=A'i+ty"ij+c , "r;

et, comme on aura d’ailleurs

U'*+Hi'*+C ,, = l, A"*+^" , + 0 "*=l, A'" , + ty'*+C"'»=l,

(A'U'"-Hy'\V"+Q”c"'=30, rx+ti we =o, A'.t,"+ii* , +e©"=o

puisque les trois droites OA, OA T, OA" se coupent à angles droits, on conclura des formules (37)

| ~zz tVa* + X a -f- A a , ij =r Db'e 1 ü"«" -4* vYV" ,

Quant aux râleurs générales de a', a", e™, on les déduira de l’équation (32) en opérant comme il suit.

Soient o», C, les valeurs initiales de u et de — . On aura

(40) u„ = A|„ -4- xî>j,o -4- •

(41) u,=AJ,-4-Æi;,-4-S“»,

ou, ce qui revient au même,

(42 ) x, = (ï,A -H t^tü. -4- (G) cos kv- f> (g,A -4-*)o + t»e) ain*p ,

(43) «. — (M- + r.tü -4- f.C) cos * » -4* ( g, A -4- 1). Vh + 1, S) sin k v -,

et l'on tire «le l’ équation (32)

gin $t /»•

s — ügCOHi + b, — — =: e 0 cos st + o,J # cos st al ,

ou, en d'autres termes.

C0s(jh+»/)+C0R(ir-s<)

cos(IM-sf>+cos(*v-*0 . , . . L .„ , ^»la( fo-Ht)-Htn(*»-«*?

H«^+WH*e)

. v 8ln(fa+sO+gin(fe>-a/)

Cela posé, faisons pour abréger,

(46) ï 0 cosie-4*8oslnA>e=:ç>(«'), r 0 cosft-+-l) u sini - e=x(e)> f 0 cosfo-f-i<>sini»=:t^(») ,

Les fonctions

(49) tp (»), *(*), vW s

représenteront les valeurs initiales de

dr t

SI r *

dt ’

dt'

dt '

et l’on tirera de l'équation (44), réunie aux formules (42), (43),

„ . <T («+fi/)+y(*>— fl/) . z(«+fl/)+Jt(« — Ût) t tp(<e+Ql)+rfi( r S2Q

, . ®(,+ffl)+Û(.-®t) . .X(r+-nt)+X(v-üt) . ^>(t+Qt)+V(v-(lt))

Concevons maintenant que, les trois valeurs de s ! propres A vérifier l’équation (35) étant positives, les valeurs correspondantes et positives de « soient désignées par s', s", s'", et les valeurs correspondantes de fl par fl' , Û", fl". La formule (50) donnera

(51) u — X | t « i y(p+it*0+/(r— ■ g'O o, y/( I >4-Æ l t)+i,' ( r —g'f)

'j^. ^y+a'O+^Çp— a'O | t ^ ^(g+g'<)+x(i»-Æ , <) ^ ? , v / (r+.a'«)+»;'(r-fl'o j

/i a\ .. , ,, t(p+*ï"»)+?(*-.!î"<) y(p+û"«)+Kp-.n''*) , ^„v<p+ü"i)+ v (p-Æ"i)

(") » =A 2 HV' +-S"- — r

* . ■*■(»— fl"<) . . x(p+fl' , <)4-x: t — si"i) <p(x>+a'‘t)+w(v—n“t

En substituant les valeurs précédentes de s', a", a" dans les équations (39), on obtiendra pour r, Ç des fonctions de V et de t qui auront la double propriété de satisfaire, au bout d’un temps quelconque /, aux équations (25), et de vérifier, pour une valeur nulle de I, les conditions

(54) S = ?(p), IJ =x(p), C=*Ml ÿ=®(p). J=X(p), J = ¥(*).

Les inconnues §, ij, Ç et a', s", s'" ou les déplacements de la molécule ta mesurés parallèlement aux axes dés je, y, z et à ceux de l’ellipsoïde (36), étant déterminées comme on vient de le dire, on en déduira sans peine la vitesse <0 de la molécule m au bout d’un teqipa quelconque t. En effet, si l’on projette cette vitesse 1 . 0 sur les axes des je, y, x, 2 . ° sur les axes de l’ellipsoïde (36), on trouvera pour projections algébriques dans le premier cas

rfr; d£

JT’ dï'

du" du"

Ht' HT'

(oh)

dan> le second cas

cl par suite ou aura

dt '

du'