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Il est bon d’observer que les équations (51), (52), (53) sont toutes trois comprises dans U formule (50) de laquelle on les déduit en prenant successivement a~ a , a — a" a = Si d'ailleurs on pose
(58) b (*) — Acp (®) + tAz (*) + (»),
ou, ce qui revient au même ,
(60) œ (v) ” (ï 0 ,t.-J-t u 'tfi-|-f ll 2) cos ir-l-(g 0 ,l, + l)gVl+ i„S) sinlv ,
(61) 77(*) — (Vb-4-r,iü-l*ftC) cos kv +■ (g, A -f- I)itl5 ■+• i,G) sîn Iv , la formule (50) sera réduite à
o>(r-j-12/)-f- ra (o— PO . r ' Ti(v-\-P.t) + Tl( v - SU)
(62) h— r +./ ô dt.
Dans le mouvement que représentent les équations (39) réunies aux formules (51), (52), (53) les déplacements et les vitesses des molécules dépendent des seules variables d et I. Donc, au bout d'un temps quelconque /, ces déplacements et ces vitesses seront les mêmes pour les molécules situées à la même distance » du plan représenté par 1 équation (12).
Lorsqu'à l'origine du mouvement, les vitesses et les déplacements des molécules sont parallèles à l'un des trois axes de l’ellipsoïde (36), tes fonctions m(v), il (r) déterminées par Ica formules (60), (61), et l'inconnue « déterminée par l'équation (62) s'évanouissent pour deux des valeurs de « représentées par a, s", s"*; en d'autres termes, deux des déplacements absolus et les vitesses absolues des molécules restent toujours parallèles au même axe de l'ellipsoïde. Si, dans le cas dont il a’agit, celui des déplacements u, u" , u" qui diffère de zéro étant désigné par u , lea
valeurs initiales de a
du
et savoir
m(?) ct H (*) vérifient la condition
It formule (62) donnera
(64) u = a (v -{- Qt).
Alors la valeur de « sera la même pour lea molécules situées, au bout du temps /, à la distance r du plan O' O" O"' représenté par l'équation (12), et pour les molécules situées au bout du temps à la distance r -J- Jx , la quantité Jr
étant déterminée par la formule
(65) Jv = — njt.
Donc le mouvement d'une molécule quelconque ni se transmettra Immédiatement à d'autres molécules voisines situées du côté des v négatives, et la vitesse avec laquelle le mouvement se propagera dans une direction perpendiculaire au plan OOO "
ou la valeur numérique de
It
fournie par l'équation (20), sera précisément la con-
stante positive Si. De plus, comme la fonction ®(t-), déterminée par l’équation
, . . , 2rt
(60) reprend la même valeur qnand on y fait croître v de — , il est clair que
la fonction « = • (r + fit) reprendra la même valeur quand on attribuera l’accrois-
2 n 2jï
sèment -j— it la variable r, ou l'acroisscmcnt ^ i> à la variable I. Cela posé,
faisons
et
Si, au bout du temps I, on divise t'espace en une infinité de tranches par des pians parallèles les uns aux autres, et correspondants aux valeurs de v qui reproduisent des
tin
valeurs données de la fonction u cl de sa dérivée la constante l représen-
tera évidemment l’épaisseur de chaque tranche, tandis que la constante T représentera la durée des oscillations isochrones successivement exécutées par une molécule. Noua nommerons ondes planes les tranches dont lions venons de parler, et, pour fixer les idées, nous supposerons ces ondes comprises entre des plans tracés de manière qu'au bout du temps / l'épaisseur de l'une d'elles soit divisée en parties égales par le plan auquel appartient l'équation
ou
(69) - ox + iy4*«= — A»-
Alors on aura constamment
dn .
(70) a = w(o), et — = Siw (o), ou, ce qui revient au même ,
| lu
(71) 8 = M,+f„t&-Ho2 Ct — = kSi (&A + boX^ -4- i»C)
pour tous Ica points situés dans les plans qui diviseront eu partios égales les épaisseurs des différentes ondes, et
on, ce qui revient au même.
(73) a = — (M.+MM-ÜS), jï=~ *fl(8oA-H„t%-H,e)
pour les points situés dans les surfaces planes qui sépareront ces mêmes ondes les unes des antres. De pins, la vitesse de propagation d'une onde plane, c'est-à-dire, en d'autres termes, la vitesse de déplacement du plan (68) ou (69), mesurée dans une direction perpendiculaire à ce plan, sera constante en vertu de la formule (68), et représentée par Si. Comme on aura d'ailleurs, en vertu des formules (66), (67),
(74) SiT = l, ou
il est clair que la vitesse Si sera en raison directe des épaisseurs des ondee, ct en raison inverse des durées des oscillations moléculaires, Enfin on tirera des équations (48), (66), (67)
el par suite 1» formule (60), qui détermine » en fonction de h pour une direction donnée du pian OO'O", pourra servir encore 1 déterminer T ou Si en fonction de I. Donc il existera généralement une relation entre la vitesse de propagation Si d'une onde piano et «on épaisseur l.
Si la condition (63) était remplacée par la suivante
(78) /ï(») = — Am», la formule (62) donnerait
(79) ' u = o(»— Sil).
Alors la valeur de a serait la meme pour les molécules situées an bout du temps t à la distance », et au bout du temps t-\- Jl à la distance v + A du plan OO'O", la quantité âv étant déterminée par l'équation
(80) Jv = SiJt.
Donc le mouvement d’une molécule quelconque m se transmettrait immédiatement & d'autres molécules voisines situées du cite des » positives, et la vitesse avec laquelle le mouvement se propagerait dans une direction perpendiculaire an plan OO'O",
dv
ou la valeur de fournie par l'équation (68) serait toujours la constante po-
sitive Si.
Dan 9 ce cas, on pourrait encore diviser l'espace en une infinité de tranches on ondes planes égales de même épaisseur, à l’aide des pians parallèles au plan OO'O ', et corda
respondauts aux valeurs de » qui reproduisent les valeurs de a et fournies
par les équations (72) et (73). Alors aussi l'épaisseur de l’une des ondes serait diviaée en deux parties égales par le plan auquel appartiendrait l'équation
» — Sit ,
OU
ax+b>/+cz = Sit,
et les formules (80) et (71) continueraient de snbsister pour tous les points situés dans les plans qui diviseraient en parties égales les épaisseurs des différentes ondes. Enfin l'épaisseur l d'une onde plane, sa vitesse de propagation Si, et la dnree T des oscillations moléculaires vérifieraient toujours les équations (66), (67) qui entraîneraient encore les formules (74), (75), (77).
Si les fonctions ra(s), JT(,) ne vérifiaient ni la condition (63), ni la condition (78), le mouvement ne cesserait pas d’ètrc détermine par les trois formules (51), (52), (53) dont chacune est semblable à la formule (62), et on pourrait le considérer comme produit par la composition de six mouvements pareils i ceux que représentent les équations (64) cl (79;. Les ondes planes correspondantes aux six mouvements dont il s'agit se propageraient dans l'espace avec des vitesses deux à deux égales entre elles, mais dirigées en sens inverses, et représentées par 12', îî ", Q ".
Si, au premier instant, les déplacements et les vitesses des molécules, mesurés parallèlement aux axes conrdonées, étaient représentés par des sommes de termes semblables à ceux que renferment les seconds membres des formules (26), (27), en sorte qu'on eut
! ?i)= - (» 0 cosir -t-g^iniv),
»,'« = - (foVOsiv-f- llosint. ),
Ço = - (f 0 cos 1*1 -4- i,|Sinfi ) ,
I |, =sS'(t,coaX*-4-(| l aiiUv),
(84) \ »;,= i(c l cosJY-+-l|,»lutv),
\ r, “ * ( fjt'osXv -4- i,"iinXv ) ;
ou, re qui revient au même,
! §', = - [(^c« 8 (*.r -4- t(y -4- ma) -4- Bviiu (ux -4- oy -4- toc)] ,
»,« = - '(t,,cos («a- -4- cy + ici) -H)^in («,r + ty -4- te*)] ,
-O = -'(f„cos (ux -4- vy -4- ici) + i 0 »in (i/.r -f- vy + ma)) ,
i l, = -i(i>,ros (ux-f-i^y-f-ui) -4- g,sin [ux -4- vy -4- ica)] , r, = .ï'faens («.r-4-i>y -f-tea) -4- l),aln («,r-4-cy-4-ici)],
■ i = J[(f,cos (ux -4- t;y -4- ici) -4- t,sin (n.r -f- ij/ -4- mi)] ;
la fonction v étant toujours déterminée par la formule (10), et le signe 2 indiquant l'addition de plusieurs ou même d'une infinité de termes correspondants à divers système» de valeurs des constantes a, b, c, k ou u, v, le; alors, i la place dea formules (39), on obtiendrait les suivantes
