PAA LA GÉOMÉTRIE

libre <[U*autant que son centre de gravité est le plus haut ou le plus bas possible.

Prouver aussi que dans le premier cas V équilibre est instable , et que dans le second il est stable (i).

Soit un corps dont les mouvements ne soient pas pai'laitement libres , par exemple qui ne puisse se mouvoir qu’autour d’un point fixe ou d’une droite fixe, ou sur un plan horizontal. Si l’on donne successivement à ce corps toutes les positions qu’il lui est permis de prendre , son centre de gravité G décrira une surface L dont la nature dépendra de la forme du corps et de l’obstacle qui limite ses mouvements. On peut donc réduire ce corps par la pensée au seul point G sollicité par la pesanteur et assujetti à demeurer sur la surface L. Or , pour que ce point G y soit en équilibre, il faut que la pesanteur soit normale à la surface au point qui coïncide avec G, et en conséquence que le plan tangent en ce ^joint soit horizontal : c’est ce qui a lieu seulement quand

(1) Comme nous comprenons les théorèmes à démontrer parmi les problèmes , nous avons cru inutile de présentercet énoncé sous une forme interrogative et avec toute l’indétermination qu’il comporte. Nous aurions pu le poser comme il suit : Quelle est la condition nécessaire pour ^équilibre d’un corps pesant dont les mouvements sont gênés par quelque obstacle F Dans quel cas cet équilibre est-il stable ou instable ? On a le choix entre ces deux énoncés, suivant le degré de difficulté qu’on veut donner à la question. La distinction qu’on établit en géométrie entre lès théorèmes et les problème» ne serait d’aucune importance dans ce recueil.

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le centre de {jravité G est au jX)int le plus haut ou le plus bas de la surface L. Donc Téquilibre u’existe ' que dans l’un ou l’autre cas.

Actuellement , si le centre G est au point le plus haut , et qu’on l’écarte un peu de cette position , le point G s’abaissera, la pesanteur ne sera plus détruite entièrement par la résistance de la surface L, et comme la composante tangentielle de cette force . tend à faire descendre le point G, il s’écartera de plus en plus de sa position primitive. Donc l’équilibre est instable.

Au contraire, si G occupe le point le plus bas de L et qu’on le dérange un peu , le point G s’élèvera, et la pesanteur, reprenant une partie de son action, l’abaissera de nouveau: par conséquent G reviendra vers sa position initiale. Donc l’équilibre est stable.

Dans le cas particulier où la surface L serait un plan horizontal, l’action de la pesanteur sur le point G serait anéantie, quelle que fût la position de G sur' L: d’où il suit que, si le corps était un [>eu dérangé d’une position d’équilibre, il ne tendrait ni à y revenir ni à s’en écarter davantage. On dit alors que l’équilibre est indiffèrent (1).

(1) Si quelque obscurité résultait de la généralité de nos raisonnements , il serait aisé d’éclaircir la démonstration en l’appliquant à un exemple simple, tel que celui d’une sphère non homogène mobile autour de son centre C de ligure. La' suiTace L scraifdaus ce cas une sphère qui aurait aussi pour ceuire le point C , et dont le rayon serait la distauce CG des

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' Nous ne nous arrêterons pas plus long-temps sur les problèmes susceptibles d’une solution purement ^

géométrique, parce que les questions élémentaires de cette espèce sont en général celles qui présentent le moins de difficulté. Toutefois dans les chapitres suivants nous emprunterons à la géométrie soit des constructions , soit des théorèmes , lorsqu’il s’agira de traiter des problèmes d’un genre mixte, où la géométrie sert à poser les équations et l’algèbre à les résoudre.

centres de figure et de gravité..;;. Une sphère homogène posée sur un plan horizontal olTrirait un exemple de l’équilibre indifférent.

Voyez d’ailleurs, dans Ivl Mécanique de M. Poisson (2® édition , 1. 1 , n. 848 ), la démonstration analytique de ces théorèmes d’équilibre.

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